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1二次方程根的分布一、一元二次方程02=++cbxax根的分布情况（下面只讨论两根存在且不相等的情况）设方程02=++cbxax的不等两根为12,xx且12xx，相应的二次函数为cbxaxxf++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表：（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0xx两个正根即两根都大于0()120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120xx大致图象（0a）得出的结论()00200baf∆−()00200baf∆−()00f大致图象（0a）得出的结论()00200baf∆−()00200baf∆−()00f综合结论（不讨论a）()00200baaf∆−⋅()00200baaf∆−⋅()00⋅faOyxOxyOxyxOyOyxOyx2表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k，即12,(,)xkxk−∞+∞两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论()020bkafk∆−()020bkafk∆−()0kf大致图象（0a）得出的结论()020bkafk∆−()020bkafk∆−()0kf综合结论（不讨论a）()020bkaafk∆−⋅()020bkaafk∆−⋅()0⋅kfa注：高中阶段主要利用二次函数的图像方法推导根的分布的情况：“三看”:即一看判别式，二看对称轴，三看端点值（含开口方向）.kxkxkkxkxkxx3表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内，另一根在],[nm之外一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论()()0002fmfnbmna∆−()()0⋅nfmf()()()()0000fmfnfpfq或()()()()00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论()()0002fmfnbmna∆−()()0⋅nfmf()()()()0000fmfnfpfq或()()()()00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）−⋅⋅∆nabmnfamfa20)(0)(0()()0⋅nfmf()()()()00qfpfnfmfmxnmxnmxnmxnmxnpqmxnpq4根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()nm,外，即在区间两侧12,xmxn，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a时，()()00fmfn；（2）0a时，()()00fmfn故不讨论a，得结论：⋅⋅0)(0)(nfamfa对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()nm,内有以下特殊情况：1°若()0fm=或()0fn=，则此时0)()(⋅nfmf不成立，但是得到了方程的一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()nm,内，从而可以求出参数的值.如方程()2220mxmx−++=在区间()1,3上有一根，因为()10f=，所以()()()22212mxmxxmx−++=−−，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2°方程有且只有一根，且这个根在区间()nm,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.如：已知方程24260xmxm−++=有且一根在区间()3,0−内，求m的取值范围.分析：①由0)0()3(⋅−ff，即()()141530mm++，得出15314m−−；②由0∆=即()2164260mm−+=得出1m=−或32m=，当1m=−时，根()23,0x=−∈−，即1m=−满足题意；当32m=时，根()33,0x=∉−，故32m=不满足题意；综上分析，得出15314m−−或1m=−注：请各位同学结合以上所说，认真听课！将题目中的条件与以上图形对照，并注意分类讨论，必能融会贯通！mxnmxn