周期信号的傅里叶变换

3.9周期信号的傅里叶变换正弦/余弦信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换正弦/余弦信号的傅里叶变换)]()([)sin()]()([)cos()(21111111jtt一般周期信号的傅里叶变换ntjnneFtfT1)(.,11其傅里叶级数为角频率为令周期信号周期为dtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2][)]([小结:1.由一些冲激组成离散频谱.2.位于信号的谐频处.3.大小不是有限值,而是无穷小频带内有无穷大的频谱值.周期信号的傅立叶变换存在条件1.周期信号不满足绝对可积条件.2.引入冲激信号后,冲激的积分是有意义的.3.在以上意义下,周期信号的傅立叶变换是存在的.4.周期信号的频谱是离散的,其频谱密度,即傅立叶变换是一系列冲激.dtetfFtGtftfdtetfTFeFtfFTtGtfFStftjTTTtjnTTnntjnnT220022111111111)()()()()()(1)(:)()()(令之间的关系形成的非周期信号的与取其一个周期的周期信号1111])([1)(1:)(221010ntjTTnnndtetfTFTFFF之间关系为与则103147)()()(1111例变换：周期单位序列的傅里叶pnnTttnnT3.10抽样信号的傅里叶变换时域抽样频域抽样抽样量化编码连续信号f(t)抽样信号fs(t)数字信号抽样脉冲p(t)问题：1）抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被抽样的连续信号的频谱有什么关系？2）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号无失真的还原原始信号？)(2)(snnnPP22)(1sssTTtjnsndtetpTP*时域抽样)(*)(21)(PFFs)()(snnsnFPF)()()(tptftfs2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss矩形脉冲抽样-自然抽样)(2)(snsssnFnSaTEF上式表明:信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数取决于抽样脉冲序列的形状.-ωmωmF(ω)ω1抽样前EωsFs(ω)ωωmωs抽样后sTTtjnsnTdtetpTPsss1)(122nsssnFTF)(1)(冲激抽样-理想抽样上式表明:由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数,所以F(ω)是以ωs为周期等幅地重复,如下图所示：F(ω)-ωmωmω抽样前Fs(ω)1/Tsωs-ωsω抽样后nsssnFTF)(1)(nnFFFtf)()()()()()()(11其中*频域抽样nnTtftf)(1)(111上式表明：若f(t)的频谱F(ω)被间隔为ω1的冲激序列在频域中抽样，则在时域中等效于f(t)以抽样间隔为周期而平移。从而也就说明了“周期信号的频谱是离散的”这一规律。nnTtftf)(1)(1113.11抽样定理时域抽样定理频域抽样定理一个带限信号f(t),如果频谱|ω|≤ωm,则信号f(t)可以唯一地由其均匀时间间隔Ts≤1/(2fm)上的抽样值f(nTs)确定.且抽样频率fs≥2fm(ωs≥2ωm).而fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率;Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔.时域抽样定理Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷积Fs(ω)ωmωs1ωcH(ω)相乘F(ω)ωm一个时限信号f(t),如果集中于|t|≤tm,则其频谱F(ω)可以唯一由其均匀频率间隔fs(fs≤1/(2tm))上的抽样值F(nωs)确定.频域抽样定理时域抽样与频域抽样的对称性f(t)F(ω)以ωs为周期重复TsF(ω)f(t)以Ts为周期重复ωs若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以ωs=2/T为周期重复;而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T为周期重复.因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过程,必然导致时域中的周期函数。作业:3-41改)1000()(2tSatf下次课包括4.1-4.5节的内容，请预先做好听课准备。第三章总结及习题课知识点回顾:周期信号傅里叶级数分析非周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换典型周期信号的FS典型非周期信号的FT傅里叶变换基本性质抽样信号的FT抽样定理,...)2,1(sin)(2:,...)1,0(cos)(2:)sincos(2)(:10010011111110ntdtntfTbntdtntfTatnbtnaatfTttnTttnnnn正弦分量幅度余弦分量幅度三角形式傅里叶级数(FS)为所有的整数其中指数形式ndtetfTFnFenFtfTtttjnnntjn10011)(1)()()(:111函数f(t)的对称性与FS系数关系20111101cos)(4cos2)(:)((1)TnnntdtntfTatnaatftf为偶函数2011111)sin()(4)sin()(:)((2)TnnndttntfTbtnbtftf为奇函数为所有的奇数且公式同上和为奇谐函数nbatnbtnatftfnnnnn,)sincos()(:)((3)111傅里叶变换的定义deFtfdtetfFtjtj)(21)(:)()(:反变换正变换典型信号的FTjatueat1)(22||2aaeta)2()(SatGjt2)sgn(1)(t)(21jtu1)()()]()([cos000t)]()([sin000jtnTnt)()(111非周期信号的FT的性质)(2)(:ftF对称性)()(Ftf已知)()(:11niiiniiiFatfa线性)(||1)(:aFaatf尺度变换偶函数奇函数虚函数奇函数偶函数实函数奇函数偶函数奇偶虚实性)(,)(:)(,)(:)(,|)(:|XRXRF)()()(:)()()(:)()(nnnnFtfjtFjtf频域微分时域微分dFtfjttfFjFdft)()()0()(:)()0()()(:频域积分时域积分0)()(:0tjeFttf时移)()(:00Fetftj频移dFdffFdttfParseval222|)(|21|)(|)(:定理)()()()(:2121FFtftf时域卷积)()(21)()(:2121FFtftf频域卷积一般周期信号的FTdtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2][)]([周期信号的FS与其单周期信号的FT之间的关系1)(101nnFTF)()(snnsnFPF时域抽样信号的FT)(2)(:snsssnFnSaTEF自然抽样nsssnFTF)(1)(:理想抽样nnTtftf)(1)(111频域抽样信号的FT频域抽样定理时域抽样定理msmsmfTff212||或msmsmtftTtt212||或.)]sin()cos([)()]sin()cos([)()]sin()cos([)(,)()(:111100111021110121的波形画出且如图和已知周期信号例题nnnnnnnnntndtnacatftndtncctftnbtnaatftftf)(1tft0T1)(2tft0T11)(tftT21)()()(:21tftftf由函数对称性可知解%.95),/(,)(00总能量的分量的能量贡献为信号以下所有频谱使得在秒弧度频率并确定的能量试求信号例题tueat:2ajFadtedttfEat1)(,21)(,:022因为该信号有从频域计算从时域中计算由定义解)/(706.12)(1295.0%95,~021)(111|)(|1000002220sradaarctgaaaaarctgadadFEParseval则有的能量包含当定理根据?0,:).()(),(,)(,6100||0100||1)(:,:3nnantftytytfaTHS才保证值对于什么样的问且的输出为滤波器输入到滤波器时的信号为其傅里叶级数系数当基波周期为其频率响应是波器一连续时间理想低通滤例题.0,8||8||100|12|100||.12,)(.)(,,)(12)(1将恒为值的即对于因此有其高次谐波可表示为是周期信号在低通滤波器的通带内所有频率分量都这意味着是其本身输出的通过理想低通滤波器后的基波频率解nannnnntftftfΤtf2::).(),()(:4Ftf求如图为周期信号已知例题)(tft01441......2)(])1(2[4sin4)(])1(2[4sin2)]1(2)(4[212)(11)(:21232121nnnFnndtetGtGTdtetfTFFSnnntjnTtjnn求解利用周期信号的方法解)(])1(2[4sin4)(2)()(2)()()()24(4sin2)]1(2)(4[)()(.)(2)(:1211nnnFTtTttftfetttGtftnnTTjT的卷积求解与号将信号转换为主周期信方法解tdfttfbatfdtdFTFtf)]1(2[)3(sin)()2()()1(:),()(:502求下列信号的已知例题abjabjeaFajbatfdtdeaFabatfaFaatf)(||)()(||1)()(||1)()1(:解)()0(2)2(21)]1(2[)2(21)]1(2[)()1()3()]()([)(4sin)()()(21)()2(:00022FeFjdfeFtfeFtfFFFjttfFFtfjtjj解dxxxdxxxFT20)sin()2(2sin)1(::6及其性质证明下式利用例题002sin2)()0(2)()(21)0()(21)(21)()()(221)()(21)()1(:dxxxdSafdSadSafdeSadeFtfSaSatftGtftjtj即义根据傅里叶反变换的定则设证d