构造均值不等式--证明轮换对称不等式

1构造均值不等式证明轮换对称不等式安徽省六安第二中学陶兴红237005若含多个字母的代数式12(,,fxx…，1,,)nnxx中字母作一次轮换：1223,xxxx，…，11,nnnxxxx，其形式不变（最多某些项的次序变动），则称它为轮换对称式。左右两边都是轮换对称式的不等式，叫做轮换对称不等式。最近笔者发现一种证明轮换对称不等式的好方法，简单地说，就是构造均值不等式法，具体地说，就是先将要证不等式的左边各项添上适当的项，然后分别对它们每一个式子运用均值不等式，其结果恰好是要证不等式的右边各项的同类项，最后将各均值不等式相加，经化简便得到所要证的不等式。下面不妨举几个这方面的例子供读者参与：例1：已知,,abcR，求证：333222abcabbcca.分析：这是一个轮换对称不等式，用排序不等式能够证明，但若用构造均值不等式法，该如何证明呢？其实构造均值不等式的关键是凑项，那么对于本题来说，应该凑上什么适当的项，才能构造出所需的均值不等式。观察要证不等式的左右两边结构，不难发现，右边各项的次数都是3，因此所凑的项的次数也都应该是3，右边2ab项的字母a的次数是2，字母b的次数是1，因此需要两个3a项和一个3b项，运用均值不等式后，才能得到2ab项的同类项。这样我们便知道要给3a项凑上一个3a项和一个3b项，运用均值不等式后，就能得到右边2ab项的同类项。同样，我们可以给3b项和3c项凑上适当的项，运用均值不等式后，得到2bc项和2ca项的同类项。证明分析原不等式左右两边结构，不难构造下面三个均值不等式：3333333233aabaabab①3333333233bbcbbcbc②2333333323ccaccaca③①②③得3332223()3()abcabbcca333222abcabbcca显然，当且仅当abc时，不等式取“”号.例2：已知,,abcR，求证：444222abcabcabcabc.分析：444444442444aabcaabcabc，即444224abcabc，①同理可得：444224abcabc，②444224abcabc③①②③得4442224()4()abcabcabcabc444222abcabcabcabc.显然，当且仅当abc时，不等式取“”号.例3：已知,,abcR，求证：333222abcabcbca.证明：分析原不等式左右两边结构，可以构造下面三个均值不等式：3332233aabbbbabb①3332233bbccccbcc②3332233ccaaaacaa③①②③，并化简得：333222abcabcbca.显然，当且仅当abc时，不等式取“”号.例4：已知,,abcR，求证：333abcabcbccaab.证明：,,abcR33333aabcbcabcbc①333333bbcacabcaca②33333ccababcabab③①②③，并化简得：333abcabcbccaab.显然，当且仅当abc时，不等式取“”号.例5：已知,,abcR，求证：333222abcabcbca.证明：,,abcR33222aaabababb①33222bbbcbcbcc②33222cccacacaa③①②③，并移项得：333222222abcabcabbccabca.又222abab④222bcbc⑤222caca⑥④⑤⑥，并化简得222abcabbcca，222222222abcabbccaabc.显然，当且仅当abc时，不等式取“”号.下面提供几道习题让读者练习：1．已知,,abcR，求证：444333abcabbcca．2．已知,,abcR，求证：555222222abcabcabcabc．43．已知,,abcR，求证：222abcabcbca．4．已知,,abcR，求证：444333abcabcbca．5．已知,,abcR，求证：444222abcabcbccaab．本人联系电话：[phone]地址：安徽省六安二中数学组E-mail:[e-mail][e-mail]作者简介：本人名叫陶兴红，男，1972年生，安徽庐江人，汉族，研究生学历，中学数学高级教师，现在安徽省示范高中——六安二中工作，教学经验丰富，教育教学成果显著，发表论文多篇。