大学经济数学

经济数学广州大学纺织服装学院函数的极限与连续极限的运算函数的连续性数学建模案例函数的概念函数的极限XXXXX函数的极限无穷小与无穷大极限的运算法则两个重要极限数学模型的概念数学建模过程第一章函数的极限与连续经济数学广州大学纺织服装学院1.1函数的极限一、函数的概念二、函数的极限三、无穷小与无穷大经济数学广州大学纺织服装学院因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW数集D叫做这个函数的定义域()yfx定义1设数集DR，则称映射RDf:为定义在D上的函数.变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作即对于每个数Dx,1、函数的概念经济数学广州大学纺织服装学院(())0x0()fx自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21yx例如，]1,1[:D211yx例如，)1,1(:D经济数学广州大学纺织服装学院(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn经济数学广州大学纺织服装学院(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x经济数学广州大学纺织服装学院221,0()1,0xxfxxx例如,12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(3)分段函数经济数学广州大学纺织服装学院例1.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故经济数学广州大学纺织服装学院M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX（1）函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf2、函数的性质经济数学广州大学纺织服装学院（2）函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有o)(xfy)(1xf)(2xfxyI1x2x经济数学广州大学纺织服装学院;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI1x2x经济数学广州大学纺织服装学院（3）函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfxyx)(xf)(xfyo-x)(xf;)(为偶函数称xf经济数学广州大学纺织服装学院有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy经济数学广州大学纺织服装学院（4）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l2l23l23l对于函数f(x)，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则f(x)叫做周期函数，l称为是f(x)的周期。()()fxlfx经济数学广州大学纺织服装学院(1)反函数3、反函数与复合函数设函数的定义域为D，值域为W.若对∀y∈W，D上都有唯一确定一个数值x与之对应，且ƒ(x)=y.若把y看作自变量,x看作因变量,则称函数x=f-1(y)为函数y=ƒ(x)的反函数.而原函数y=ƒ(x)为直接函数;x,y互换便有y=φ(x)（y=f-1(x)）,从而函数与反函数定义域、值域及图象间有一定的关系.经济数学广州大学纺织服装学院)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy经济数学广州大学纺织服装学院（2）复合函数,uy设,12xu21xy定义2:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若fDZ,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y例：经济数学广州大学纺织服装学院注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.cot,2xy=,yu=cot,uv=.2xv=例如：2,1yuux例如：经济数学广州大学纺织服装学院(1)幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy4.初等函数经济数学广州大学纺织服装学院(2)指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xye经济数学广州大学纺织服装学院(3)对数函数)1,0(logaaxyay=lnxxyalogxya1log)1(a)0,1(经济数学广州大学纺织服装学院(4)三角函数正弦函数xysinxysin经济数学广州大学纺织服装学院xycosxycos余弦函数经济数学广州大学纺织服装学院正切函数xytanxytan经济数学广州大学纺织服装学院xycot余切函数xycot经济数学广州大学纺织服装学院正割函数xysecxysec经济数学广州大学纺织服装学院xycsc余割函数xycsc经济数学广州大学纺织服装学院(5)反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数经济数学广州大学纺织服装学院xyarccosxyarccos反余弦函数经济数学广州大学纺织服装学院xyarctanxyarctan反正切函数经济数学广州大学纺织服装学院幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarc经济数学广州大学纺织服装学院初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.★我们以后遇到的函数大多都是初等函数，分段函数除外。经济数学广州大学纺织服装学院思考题1设0x，21)1(xxxf，求函数)0()(xxfy的解析表达式.经济数学广州大学纺织服装学院思考题1解答设ux1则2111uuuf,112uu故)0(.11)(2xxxxf经济数学广州大学纺织服装学院二、函数的极限领域：设δ是某个正数，称开区间(x0-δ,x0+δ)为以为x0中心，以δ为半径的邻域，简称点x0的邻域，记为U(x0,δ)空心领域：0ˆ(,)Ux1.x→∞时函数ƒ(x)的极限（1）设函数ƒ(x)，当x0且无限增大时，函数ƒ(x)趋于一个确定的常数A，则称函数ƒ(x)当x→∞时以A为极限.记lim()xfxA或()().fxAx如：1lim0,lim0,limarctan.2xxxxexx经济数学广州大学纺织服装学院(2)设函数ƒ(x),当x0且x的绝对值无限增大时，函数ƒ(x)趋于一个确定的常数A，则称函数ƒ(x)当x→－∞时以A为极限.记lim()xfxA或()().fxAx如：1lim0,lim0,limarctan.2xxxxexx定义2：设函数ƒ(x),当x的绝对值无限增大时，函数ƒ(x)趋于一个确定的常数A，则称函数ƒ(x)当x→∞时以A为极限.记lim()()().xfxAfxAx或经济数学广州大学纺织服装学院定理1函数y=ƒ(x)当x→∞时极限存在且为A的充要条件是函数y=ƒ(x)当x→＋∞与x→－∞时极限都存在且等于A.即lim()lim()lim()xxxfxAfxfxA例21(1)lim0;1(2)lim0(0);(3)lim0.xkxxxxkxe经济数学广州大学纺织服装学院2.x→x0时函数ƒ(x)的极限当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x→1时,函数ƒ(x)无限接近于1,记为f(x)→1•••oxy11y=x(1,1)例3函数y=ƒ(x)=x(如右图)例如10lim1,limarctan0.xxxx定义3设函数()fx在0x的某一去心领域0ˆ(,)Uxd内有定义，当自变量x在0ˆ(,)Uxd内无限接近于0x时，相应的函数值无限接近于确定的常数A，那么常数A就叫函数()fx当0xx®时的极限,记作00lim()()()xxfxAfxAxx®或经济数学广州大学纺织服装学院例4000000000021(1)lim(C);(2)lim();lim,,lim,0,lim.22(3)lim?1xxxxxxnnxxnnxxxCCaxbaxbxxnxxxxxxx为常数特别地：当为正整数时当时注：(3)中函数虽在x=1处无定义,但x→１时极限却存在.这说明函数在x0点的极限是否存在与函数在x0处有无定义无关.这是因为函数在x0点的极限是函数在x0附近的变化趋势,而不是在x0处函数值。经济数学广州大学纺织服装学院如3.函数ƒ(x)的左、右极限(0)yxx(1)左极限当x从x0左侧(小于)趋于x0时,ƒ(x)以A为极限.则A是ƒ(x)在x0处的左极限.记为00lim()(0).xxfxAfxA或－则只能考察x从0的右侧趋于0时的极限.因而必须引进左、右极限的概念.(2)右极限当x从x0右侧(大于)趋于x0时,ƒ(x)以A为极限.则A是ƒ(x)在x0处的右极限.记为00lim()(0).xxfxAfxA或＋经济数学广州大学纺织服装学院左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:定理2.函数y=ƒ(x)当x→x0时极限存在且为A的充要条件是函数y=ƒ(x)的左极限和右极限都存在且等于A。即000lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限存在的方法;特别对分段函数适用.经济数学广州大学纺织服装学院例5设ƒ(x)=|x|,求,0,0xxxxx0lim().xfx解因0000(0)lim()lim0,(0)lim()lim()0.xxxxffxxffxx则故0lim0.xx讨论下列函数当x→０时的极限.(1)();(2)().fxxxxfxxoxy•y=|x|经济数学广州大学纺织服装学院例6y=[x]在x→1时极限是否存在？解因11(10)lim()1,(10)lim()0.xxffxffx＋－故11limlim[]xxyx不存在.oxy°•°•112,01()0,1,lim().3,12xxxfxxfxxx求例7解因1111(10)lim()lim(3)2,(10)lim()lim22.xxxxffxxffxx12lim()2.xfx由定理有经济数学广州大学纺织服装学院三、无穷小量与无穷大量研究函数极限时,有两种变量非常重要.一种是在极限过程中变量可以无限变小,而且要多么小就有多小;一种是在极限过程中,变量可以无限变大,而且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无穷小量和无穷大量.经济数学广州大学纺织服装学院1.无穷小量定义4以零为极限的变量称为无穷小量.例:1.xx是时的无穷小量0limsin0sin0.xxxx是时的无穷小量1lim0lim0lim0xxxxxxee.xex是时的无穷小量.xex是时的无穷小量0000lim()0.xxxxxxxx是时的无穷小量经济数学广州大学纺织服装学院注1.很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0”是