经济数学基础——定积分在经济学中的应用

河北省高等教育自学考试定积分在经济学中的应用——定积分在经济学中的应用地市：沧州市专业：投资管理姓名：郭梦帆准考证号：091815100011身份证号：131122199504140213联系电话：[phone]内容摘要经济数学基础本着基础教学为专业服务及注重应用、培养能力的原则，根据微积分、线性代数、概率统计的基本知识逻辑，以知识介绍为重点，详略得当；叙述上力求简明、通俗，又不失科学性。关键词：定积分微分经济学边际函数投资经济数学基础知识点1.一元函数极值设函数f（x）在X0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于X0的X恒有:f(x)f(x0)，则称f(X0)为函数的极大值，称X0为函数的极大值点.f(X)f(X0)，则f(X0)称为函数的极小值，称X0为极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点、极小值点统称为函数的极值点。极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极大值不一定大于极小值，极大（小）值不一定是区间上的最大（小）值，但就极值点附近的范围来说极大（小）值就是最大（小）值；区间上的极值点可能有若干个。2.二元函数极值设函数Z=f(x,y)在点(x0,y0)的邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点，如果都有f(x,y)f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为函数Z=f（x,y）的极大值；如果都有f(x,y)f(x0,y0)，则称f(x,y)为函数Z=f(x,y)的极小值；极大值和极小值统称为二元函数Z=(x,y)的极值；使二元函数Z=（x,y）取得极大值的点或者极小值的点f(x0,y0)，称为极大值点或者极小值点；极大值点和极小值点统称为极值点．求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决．与一元函数类似，可以利用函数的极大值、极小值求解函数的最大值、最小值，但是由于自变量个数的增加，应特别注意概念中的一些变化和计算．对于二元以上的函数极值问题可类似的加以解决，如可以将二元函数极值问题的理论推广到多元函数的情形，以及利用泰勒公式推导出判断多元函数极值存在的充分条件、极值不存在的必要条件等。3.定积分定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξI（1,2,...,n），作和式设λ=max{△x1,△x2,…,△xn}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。4.概率模型概率模型是基于以下理论：给定一个用户的查询串和集合中的文档概率模型来估计用户查询串与文档相关的概率。概率模型假设这种概率只决定于查询串和文档。更进一步说，该模型假定存在一个所有文档的集合，即相对于查询串的结果文档子集，这种理想的集合用R表示，集合中的文档是被预料与查询串相关的。下面将具体讨论一种简单的算法。在查询的开始间段只定义了查询串，还没有得到结果文档集。我们不得不作一些简单的假设，例如：（a）假定对所有的索引术语来说是常数（一般等于0.5）；（b）假定索引术语在非相关文档中的分布可以由索引术语在集合中所有文档中的分布来近似表示。这两种假设用公式表示如下：表示出现索引术语的文档的数目，N是集合中总的文档的数目。在上面的假设下，我们可以得到部分包含查询串的文档，并为他们提供一个初始的相关概率。5．期望离散随机变量的一切可能值与其对应的概率P的乘积之和称为数学期望，决定可靠性的因素常规的安全系数是根据经验而选取的,即取材料的强度极限均值(概率理论中称为数学期望)与工作应力均值(数学期望)之比。定积分在经济中的应用一直以来，定积分都是大学数学中的重要内容，它是解决实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，所以本文对定积分的概念以及它在经济学上的应用做了重点研究，并利用一些例题对定积分在经济学上的应用进行了举例分析。1.定积分在边际函数中的应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.设总量函数P(x)在区间I上可导，其边际函数为P′(x)，[a,x]∈I，则总有函数()()()xaPxPuduPa当x从a变到b时，P(x)的改变量为()()()xaPPxPaPudu将x改为产量Q，且a=0时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得0()()(0)QCQCxdxC其中即为(0)C固定成本，0()QCxdx为可变成本．0()()QRQRxdx（因为(0)0R）0()()(0)QLQLxdxC例1.已知某公司独家生产某产品，销售Q单位商品时，边际收入函数为2()()abRQcQb（元/单位）（a0,b0,c0）求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.解：(1)总收入函数为0()()QRQRxdx=20[]Qabcdxxb=0Qabxb=abacQQb(2)设产品的价格为P，则abRPQacQQb，得需求函数为()aabaPccQQQbQb2.利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量,则直接采用定积分来解决。例2．已知某产品总产量的变化率为ttQ1240)((件/天),求从第5天到第10天产品的总产量。解所求的总产量为dttQQ05)(650)150200()600400(|)640()1220(1052105ttdtt(件)3.利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3．设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为10000c元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。解：总成本函数为)0()2100()(0cdttxcx=10001002xx总收益函数为R(x)=500x总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=10004002xxL=400-2x令L=0,得x=200因为L(200)0所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400200-2200-1000=39000(元)。4．利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价格高,需求就小,因此需求函数Q=f(P)是价格P的单调递减函数。同时商品价格低,生产者就不愿生产,因而供给就少;反之,商品价格高,供给就多,因此供给函数Q=g(P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q=f(P)与Q=g(P)都是单调函数,所以分别存在反函数P=)(1Qf与P=)(1Qg,此时函数P=)(1Qf也称为需求函数,而P=)(1Qg也称为供给函数。需求曲线(函数)P=)(1Qf与供给曲线(函数)P=)(1Qg的交点A(P*,Q*)称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P*称为均衡价格,即对某商品而言,顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品,由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P=)(1Qf购买某商品并情愿支付,Q*为均衡商品量,则在[Q,Q+Q]内消费者消费量近似为QQf)(1,故消费者的总消费量为dQQfQ)(*01,它是需求曲线P=)(1Qf在Q与Q*之间的曲边梯形OQ*1Ap的面积,如图如果商品是以均衡价格P*出售,那么消费者实际销售量为P*Q*,因此,消费者剩余为**0)(*QpdQQfQ它是曲边三角形1*APP的面积。如果生产者以均衡价格P*出售某商品,而没有以他们本来计划的以较低的售价)(1QgP出售该商品,由此所获得的额外收入,称它为生产者剩余。同理分析可知:P*Q*是生产者实际出售商品的收入总额,dQQgQ*01)(是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额,故生产者剩余为dQQgQPQ)(*01**它是曲边三角形*0App的面积。例4.设某产品的需求函数是P=Q2.030。如果价格固定在每件10元,试计算消费者剩余。解：已知需求函数P=QQf2.030)(1,首先求出对应于P*=10的Q*值,令Q2.030=10,得Q*=10000。于是消费者剩余为**01)(*QPdQQfQ=1000010)2.030(10000dQQ=(30Q-)15223Q100000|100000=66666.67(元)。例5.设需求函数Q＝8-3p，供给函数Q＝922p，求消费者剩余和生产者剩余.解:首先求出均衡价格与供需量.83922pQpQ得0p＝15，0Q＝3.令8-3p＝0，得P1＝24，令922p＝0，得'0p＝9，代入(3)、(4)式得CS＝224152427(8)(8)15362ppdpp，PS＝21591599()()992242pppdp.5.利用定积分计算资本现值和投资对于一个正常运营的企业而言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的，比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已知在t时刻收入流的变化率为f(t)(单位：元/年、元/月等)，那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在［0，T］这一段时间内的收入流的变化率为f(t)，连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的方法计算收入流的现值，将收入流分成许多小收入段，相应地将区间［0，T］平均分割成长度为Δt的小区间.当Δt很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数，在t与t+Δt之间收入的近似值为f(t)Δt，相应收入的现值为f(t)e-rtΔt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限，可求总收入的现值为现值＝0Trtdtf(t)e，类似地可求得总收入的终值为终值＝()0TTttdtf(t)e.例6．现对某企业给予一笔投资A,经测算,该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入,若年利润为r,试求:(1)该投资的纯收入贴现值;(2)收回该笔投资的时间为多少?解：(1)求投资纯收入的贴现值:因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为Y=)1(0rtTrteradtae从而投资所获得的纯收入的贴现值为AeraAyRrT)1((2)求收回投资的时间:收回投资,即为总收入的现值等于投资。由AerarT)1(得T=Araarln1即收回投资的时间为T=Araarln1总结定积分在数学中占重要地位。同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分,定积分还有很多在经济学中的应用之处。只要勤于学习,善于思考,勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力,同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。