动量与角动量分析

本章研究力作用在物体上的时间积累效果，也就是力作用在物体上一段时间以后对物体运动状态的影响。第三章动量与角动量本章要求：1.掌握动量定理、角动量定理，并能运用它们解决相关的力学问题。2.理解质心的概念及质心运动定理。3.理解动量守恒定律和角动量守恒定律的内容及物理意义，了解应用这两个定律的条件，并能够运用它们解决有关的力学问题。3.1冲量(impulse)与动量(momentum)定理力是物体运动状态发生变化的原因。有力F，作用在质量为m的质点上，经过时间dt。FpFddt牛顿第二定律的微分形式pFddt000ddpppFppttt积分：I0pp动量定理的积分形式动量定理的微分形式合外力冲量的方向应与质点动量的增量的方向一致力和力作用时间的乘积，即力的时间积累称为力的冲量tttFFI)(0恒力000000dddzzttzzyyttyyxxttxxpptFIpptFIpptFI分量表达式：表明：质点所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于质点的动量在该方向的分量的增量。冲量：1.冲量是矢量，其方向是由质点动量增量的方向所决定的。2.冲量是一个过程量，表示力在某一段时间内的积累效果。所以谈及冲量，必须明确是哪一个力在哪段时间上的冲量。小结动量：1.动量是矢量，动量的方向就是速度的方向。2.动量是一个状态量，具有即时性。对于一个物理量，如果定义时对应的是某一时刻(某一瞬时)，则该物理量是状态量，如位矢、速度、动量、动能等都是状态量。如果定义时对应的是时间间隔，则该物理量是过程量，如位移、路程、冲量、功等都是过程量。讨论题：胸口碎大石vpFdddmt“迅速打击”和“沉重的石板”是保护石板下的人不受损伤的关键。重锤猛击思考题：两根完全相同的线，用手拉下面的那根线，1.向下猛一扽；2.用力慢慢拉线，分别是那根线先断？（假设拉力大于线能承受的耐力（极限张力））F下面的线断而球不动上面的线先断例1：绳子一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球以匀角速度ω绕竖直轴OO’做圆周运动，绳子与竖直轴之间的夹角为θ，已知A、B为圆周直径上的两端点，求小球由A点运动到B点，绳子的拉力的冲量。ωABθOO’vAvBTW分析：应用动量定理。ABmmtvvWT)(由于做圆周运动，故ABvvBABmmmmvvvv2tmtBWvT2jiTmgmRt2ωABθOO’vAvByxTWtmtBWvT2注意：此题用矢量运算比较简单，若用动量定理的分量式则颇为麻烦。t碰撞：泛指物体间相互作用时间很短的过程。冲力：在碰撞过程中的相互作用力特点：力的大小很大且随时间改变00dtttttFF00ttppF动量定理常常用于处理碰撞问题平均冲力，即冲力对碰撞时间的平均值。1tFmFtFto0t例如：人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大。注意越小，则越大。tF在一定时，ptttpppF001vm2vmxy解：建立如图坐标系,由动量定理得cos2vm0sinsinvvmαm例2一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的钢球，以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力。FN1.14cos2tmFFxvxxxmmtF12vv)cos(cosvvmmyyymmtF12vv如直接用动量定理矢量形式，是否会更简洁？。。。1vm2vmxy0ppIcos2vm沿着x轴的正向1vm2vmpVp2p1pf||ff’龙骨Vv例3：逆风行船f假设帆面光滑：v1=v2v1v2思考：能否实现“顶风行船”m3.2质点系的动量定理质点系：由有相互作用的若干个质点组成的系统。其中每个质点的运动都遵从牛顿运动定律。质点系的总动量，是质点系内各个质点的动量的矢量和。质点系的运动方程，是质点系内各个质点的运动方程的集合。内力：系统内各质点间的彼此施加的相互作用力；外力：系统以外的其他物体对系统内任意质点的作用力。以两个质点组成的系统为研究对象：根据牛顿第二定律（微分形式）：ttdddd22121121pfFpfF对于质点m1和m2组成的系统：)(dddddd212121ppppFFttt02112ff牛顿第三定律推广至任意多个质点所组成的质点系：iiiitpFdd表明：质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。这就是质点系动量定理的微分形式。pFddt质点系的牛顿第二定律的微分形式—系统的总动量随时间的变化率等于该系统所受的合外力。tddpF在有限时间内：000ddpppIFppiiittit表明：在t0到t这段时间内，作用在质点系上所有外力的冲量的矢量和等于质点系在同一时间内动量的增量。这就是质点系动量定理的积分形式。说明：内力不能改变质点系的动量，只有外力才能改变质点系的动量。tFvmptFvmptFvmpziizizyiiyiyxiixixdddddd分量式：例3-2-1如下图所示，用传动带A输送煤粉，料斗在A上方高h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s，传送带以v=2.0m/s的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对传送带的作用力（不计相对于传送带静止的煤粉重量）。hvAyxv分析：以时间内落在传送带上的煤粉作为研究对象。tm初：末：mvppyx00000yxpmvpp0ppv0解1：煤粉自料斗下落接触传送带前具有竖直向下的速度ghv204.57arctanxyfftqmm)(0,00mvtfmvtfyx设传送带对煤粉的平均作用力为f，由动量定理得：ghqvqfvqfmmymx20N14922yxffftfxtfytfMvmMvtpx0)(由动量定理可知：vmtpttptfxxx)()(vqvtmfmx解2：设t时刻传送带上煤粉的质量为M，在此后时间内将有的煤粉落在传送带上。取为研究对象，则t时刻系统总动量在水平方向的分量为mMtmvmMttpx)()(时刻系总动量在水平方向的分量为：ttMvv0mgMN00vqvmtfmy例3-2-2一颗子弹水平的穿过并排放置在光滑水平桌面的木块，以知两个木块的质量分别为m1和m2，子弹穿过它们的时间分别为Δt1和Δt2，设子弹在木块中所受的阻力恒为F。求：子弹穿过后，两木块分别以多大速度运动？解：子弹穿过第一块木块时，两木块速度相同，均为v1，1211)(vmmtF子弹穿过第二块木块时，第二块木块速度为v2，12222vmvmtF注：子弹对木块的推力是木块对子弹的阻力的反作用力。2221122111,mtFmmtFvmmtFv运用动量定理解题时应注意：1.找准研究对象（质点or质点系）2.写出研究对象的初，末动量的表达式3.分清外力和内力，并找到真正起作用的外力。例3-2-3长为l、质量为m的柔软绳盘在水平面上。用手将绳的一端以恒定速率v0向上提起，求当提起高度为x时手的提力。分析：由于被提起的绳的质量是随提起的高度变化的，在t时刻到t+Δt时刻系统动量有变化，根据动量定理，可求出手的提力。v0x解：以整个绳索为研究对象，它共受到三个力的作用：重力G、台面支持力N和手的提力F。在这三个力的共同作用下，系统的动量在不断的变化。在t时刻，当绳索提高x时系统的动量为：000)(vvxlmxllmxlmp在t+dt时刻，绳索提起x+dx，系统的动量为：00)d(0)]d([)d(vvxxlmxxllmxxlmp由动量定理：xlmpptmgNFdd)(0vtxdd0vtxlmmgNFdd)(0v注意：式中第一项是长为x的绳索的质量，第二项是系统动量增加所需要的附加力。20vlmmglxFN只与剩在台面上的绳索的质量有关，即gxllmNdx·mg忽略不计20)(vlmmgNF3.3动量守恒定律0ddtP.constP即：.constmiiiiivP动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。若系统所受合外力为零，即，则：0iiF1.合外力为零，或外力与内力相比小很多；2.动量守恒的分量表述如果质点系沿某坐标轴方向所受合外力为零，则沿该坐标轴方向的总动量的分量守恒。讨论：例如：碰撞、爆炸等（F内F外），内力很大，重力等外力就可以忽略，认为系统的总动量是守恒的。在直角坐标系中：...constpvmconstpvmconstpvmziiziyiiyixiixi当Fx=0时，当Fy=0时，当Fz=0时，3.只适用于惯性系；4.动量守恒定律比牛顿定律更普遍，是关于自然界的一切物理过程的一条最基本的定律。课堂讨论：质量都是M的两个冰车，一同静止在光滑的水平冰面上，一质量为m的人从第一个冰车跳到第二个冰车，再由第二个冰车回到第一个冰车，求两个冰车的末速度之比。12解：把冰车和人均视为质点，由人和两个冰车所组成的系统在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律可知：MmMuuMuumM21210)(例3-3-1一载人小船静止于湖面上，小船的质量为100kg，船头到船尾共长3.6m，人的质量为50kg。试问当人匀速从船尾走到船头时，船将移动多少距离？假定水的阻力不计。解：假定船的质量为M，速度为v，人的质量为m，相对于船的速度为u，其方向应与v的方向相反。选x轴沿v的方向，则水平方向上的动量守恒，有：0)(uvmMvvu设在t时间内人从船尾走到船头，即：ut=l，船在相同时间内走过的路程为vt=S，则有：0)(lSmMS故m2.1501006.350mMmlS上式各项乘上时间t，得：0)(tuvmMvt课堂练习：质量为M，长为l的小船静止于河中，小船的两头分别站着质量为m1和m2(m1m2)的人，他们同时相对于船以相同的速率u走向开始位于船正中，但固定在河中的木桩。若忽略水对船的阻力作用，试问：(1)谁先走到木桩处？(2)他用了多少时间？•Ox解：(1)选船及甲、乙两人为研究系统，因为系统水平方向不受外力，故在此方向上动量守恒。m1m2•令船对地速度为v，m1对地的速度为v1，m2对地的速度为v2。由动量守恒：02211vmvmMv•Oxm1m2•uu由v人地＝v人船+v船地，得：vuvvuv12,v1v2v0)()(21vumvumMvummMmmv2121因为m1m2，故v0，所以船沿x轴的正向运动。ummMmMvuvummMmMvuv2121211222可见，故m2先到达木桩12vv(2)第二个人到达木桩所需的时间为：LumMmmMvLt)2(2211212v1v2M分析：在竖直方向对小球运用动量定理，可以得到小球受到的平均冲力，根据牛顿第三定律，再对滑块作受力分析，求出滑块所受的支持力，其反作用力即为滑块对地面的平均作用力；系统在水平方向动量守恒，由此可得滑块速度的增量。v0例3-3-2如图所示，质量为M的滑块正沿光滑水平面向右滑动，一质量为m的小球水平向右飞行，以速度v1（相对于地面）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速度为v2（相对于地面）。若碰撞的时间为，试计算此过程中滑块对地面的平均作用力和滑块速度的增量。t解：对小球沿竖直方向运用动量定理02mvtfy为滑块给小球冲力的y方向分力的平均值。yff.NMgyf滑块在y方向上是受力平衡的，故tmvMgfMgfMgNyy