理论力学达朗贝尔原理

理论力学电子教程第十四章达朗伯原理达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，故又称为动静法。它借助于的质点和质点系虚加惯性力，动静法在形式上将动力学问题化为静力平衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。理论力学电子教程第十四章达朗伯原理受非零力系作用的物体将改变运动状态。由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度为v，半径为r，如图14－1所示。§14-1惯性力的基本概念理论力学电子教程第十四章达朗伯原理OMIFmgOMnTF(b)OMrv(a)与上述例子实质相同的力学现象不胜枚举。可将质点惯性力的概念归结如下：一质量为m的质点受到力F的作用，具有加速度a。则由动力学第二定律有maF理论力学电子教程第十四章达朗伯原理质点对施力体的反作用力maF并记作，则有IF,称为质点的惯性力，maF可见，质点惯性力的大小等于质点质量与其加速度的乘积，方向与加速度方向相反，而作用在迫使质点改变运动状态的施力物体上。将（14－1）式可向固定直角坐标系投影有222222dtzdmmaFdtydmmaFdtxdmmaFzIzyIyxIx（14－2）（14－1）理论力学电子教程第十四章达朗伯原理若在自然轴系上投影则有2vmmaFdtdvmmaFnnII（14－3）上式表明，质点的惯性力也可分解为沿轨迹的切线和法线的两个分力：切向惯性力和法向惯性力，他们的方向分别与切向加速度和法向加速度相反。IFnIFana理论力学电子教程第十四章达朗伯原理一、质点的达朗贝尔原理设质量m为的质点，在主动力、约束反力的作用下运动，其加速度为a，如图（a）所示。FNFaNFFM(a)NFFMIF(b)§14－2质点和质点系的达朗贝尔原理理论力学电子教程第十四章达朗伯原理对质点M应有maFFI上式可改写为0)(maFFI由于，则上式记作：maF0INFFF（14－4）这说明，在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与质点的惯性力的矢量和为零。也可理解为：在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与虚加的质点的惯性力构成一零力系，这即为质点的达朗贝尔原理。应该明确：式（14－3）只具有静力平衡方程的形式，而没有平衡的实质。理论力学电子教程第十四章达朗伯原理【解】以摆锤为研究对象，设它的质量为。摆锤与车厢一样，有向右的加速度。则摆锤上作用的力有：Ma(a)FIFP(b)PFIF(c)、和，其中。FIFmaFIP例14-1如图所示，一沿水平直线向右作匀加速运动的车厢内悬挂一单摆，在正常状态下摆的悬线向左偏斜，与铅垂线成角，相对于车厢静止。试求车厢的加速度a。理论力学电子教程第十四章达朗伯原理由静力平衡方程0cossin,0IxiFPFgamgmaPFItan则即tanga二、质点系的达朗贝尔原理对质点系中每一个质点应用质点的达朗贝尔原理，然后加以综合，就得到质点系的达朗贝尔原理。理论力学电子教程第十四章达朗伯原理设质点系由n个质点组成，其中第个质点的质量为。它在主动力和约束反力作用下运动，其加速度为。则点虚加的惯性力，相应地有iMimiFNiFiaiiIiamF0IiNiiFFF),,2,1(ni（14－5）对整个质点系而言，这样的零力系共有个，它们综合在一起仍构成一零力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力、约束反力与虚加的质点系的惯性力构成一零力系。这即为质点系的达朗贝尔原理。在应用质点系的动静法时，应当分析并画出质点系所受的外力，再虚加上质点系的惯性力，两者共同构成一个虚拟的零力系。可按静力学方法列出该力系的平衡方程。理论力学电子教程第十四章达朗伯原理若研究整个刚体的运动，可以用静力学中所描述的方法将刚体的惯性力系向一点简化，用简化结果等效地代替原来的惯性力系。设将刚体的惯性力系向任选一点O的简化，则惯性力系的主矢为)()(iiiiIiIRamamFF又有，故有ciimaamcIRmaF（14－6）§14－3刚体惯性力系的简化理论力学电子教程第十四章达朗伯原理即惯性力系主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反。不论刚体作任何运动，这个结论均成立。至于刚体惯性力系的主矩，则与简化中心的位置和刚体的运动形式有关。现讨论刚体作平行移动、定轴转动和平面运动三种情况下刚体惯性力系的简化结果。一、刚体作平行移动在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度。任一质点的惯性力为aiMamamFiiiIi理论力学电子教程第十四章达朗伯原理可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。IRFC2M3M1M1IF3IF2IFa＝由平行力系中心的概念，可知此力系合成为通过质心c之合力。amamFFiiIiIR)()(理论力学电子教程第十四章达朗伯原理maFIR即（14－7）此式表明：刚体平动时，其惯性力系向质心c简化为一力，这个力的大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与加速度相反。二、刚体作定轴转动这里限于研究刚体具有垂直于转轴系的质量对成平面N的情况，如图所示。理论力学电子教程第十四章达朗伯原理Cnia＝OcmacazJianIiFIiFIiFCNIiFNCOiAiAziM(a)(b)IOM通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间力系转化为对称平面内的平面力系。再将该平面力系向对成平面的转动中心o（即为转轴与对称平面的交点o）简化，可得到一个力和一个矩为的力偶。IRF理论力学电子教程第十四章达朗伯原理力矢可由（14－5）式求得，即IRFcIRmaF（14－8）而应等于惯性力系对o点的主矩。设刚体转动的角速度为ω，角加速度为α。记的转动半径为，则IOMiMiriira2iinra相应地iiIirmF2iinIirmF方向如图（b）。于是)()()()()(2iiiiinIiOIiOIiOIOrmrrmFMFMFMM理论力学电子教程第十四章达朗伯原理即zIOJM（14－9）上式的负号表示惯性力主矩的转向与角加速度相反。式（14－7）和式（14－8）表明：刚体定轴转动时，其惯性力系向转动中心简化为一个力和一个力偶。其中这个力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转化中心。这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，作用在垂直于转轴的对称平面内，转角与角加速度的转向相反。得出上述的结论有两个限制条件：理论力学电子教程第十四章达朗伯原理（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；（2）以转动中心（转轴系与质量对称平面的交点）为简化中心。特殊情况：（1）转轴通过刚体的质心o，如图（a）所示。此时0ca0IRF00IOM（2）刚体作匀速转动，如图（b）所示。此时理论力学电子教程第十四章达朗伯原理C(a)CO(b)（α=0）e2mecJ三、刚体作平面运动（1）平面运动刚体惯性力系的简化设刚体的角速度为ω，角加速度为α，质心加速度为。选质心c为基点，则刚体对称平面内任意代表点的加速度可以分解为牵连加速度和相对加速度，相应地惯性力也有此关系，如图（a）所示。CaiMiaCaica理论力学电子教程第十四章达朗伯原理这样，刚体的惯性力系可设想为分成两组：一组是牵连惯性力，它的分布情况与刚体以加速度作平动时相同；另一组是相对惯性力，它的分布情况与刚体绕质心轴转动时相同。则由刚体作平行移动和刚体作定轴转动（转轴通过刚体质心）的结果可知：前一组惯性力合成为作用在质心的一个力，后一组惯性力合成为一个力偶。CaCaCa2iirmiirmciamniCaAaC(a)CacmacJ(b)理论力学电子教程第十四章达朗伯原理即cIRmaFCICJM（14－10）（14－11）式（14－9）和（14－10）即为平面运动刚体的惯性力系的简化结果。例14-2重量为P，半径为R的均质圆盘可绕垂直于盘面的水平轴O转动，O轴正好通过圆盘的边缘，如图所示。圆盘从半径CO处于铅垂位置1无初速度释放转下，求当圆盘转到OC成为水平位置2时轴的动反力。理论力学电子教程第十四章达朗伯原理【解】（1）应用动能定理求在位置2时的瞬时角速度ω，有PRJo02122222321RgPRgPRgPJoRg342代入（1）式得又（1）（2）（2）设圆盘得角加速度为α，则有2,RaRacncRg32得（3）理论力学电子教程第十四章达朗伯原理0,0PFFFIRoyyi代入（3）式有3PRgPPFoy0xiF0nIRoxFF（4）将（2）式代入有PRgPFox342（5）理论力学电子教程第十四章达朗伯原理【解】例14-3滚子半径为R，质量为m，质心在其对称中心C点，如图(a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径为r，滚子对质心轴得回转半径为ρ。试求滚子质心的加速度和滚子所受的摩擦力。Ca1F以滚子为研究对象。作用于滚子上的外力有重力、水平拉力、地面法向反力和滑动摩擦力，如图所示。PFNF1F设滚子的质心加速度为，则由纯滚动条件有，相应地有CaRaccIccIRJMmaF,理论力学电子教程第十四章达朗伯原理对图（b），由平衡方程得0)(,0rRFJRmaMccAi将代入上式有2mJc)()(22RmrRF)()(22RmrRFRRac则0,01cximaFFF代入，有Ca2221RRrFmaFFc讨论：静摩擦因数满足什么条件，滚子才能发生纯滚动？理论力学电子教程第十四章达朗伯原理作定轴转动的刚体，若重心不在转轴上，将引起轴承的附加动反力。如刚体转速较高，附加动反力将十分巨大，会造成各种严重的后果。下面结合例题进行说明。【解】应用达朗贝尔原理求解。以整个转子为研究对象，转子受到的外力有重力、轴承反力、。转动中心O虚加离心惯性力、。则在形式上组成一平衡力系。PNAFNBF2meFIRNAFNFPIRFNBF§14－4刚体定轴转动时轴承的动反力例14-4转子的质量m=20kg，水平的转轴垂直于转子的对称面，转子的重心偏离转轴，偏心距e=0.1mm，如图所示。若转子作匀速转动，转速n=12000r/min，试求轴承A、B的动反力。理论力学电子教程第十四章达朗伯原理将反力分成两部分来讨论。（1）静反力NPFFNBNA07.9828067.9202NBNAFF静反力的方向始终铅垂向上。（2）附加动反力NmeFFFIRNBNA1579301200010001.0202121212与静反力不同，附加动反力和的方向随着惯性力的方向而变化。将静反力与附加动反力合成，就得到动动反力。一般情况下，不一定共线，应采用矢量合成。当它们同向或反向的瞬时，动反力取最大值或最小值有NAFNBFIRF理论力学电子教程第十四章达朗伯原理NFFNBNA1677981579maxmaxNFFNBNA1481981579minmin从以上分析可知，在高速转动时，由于离心惯性力与角速度的平方成正比，即使转子的偏心距很小，也会引起相当巨大的轴承附加动反力。为清除附加动反力，首先应消除转动刚体的偏心现象。无偏心的刚体，仅受重力作用，则无论刚体转到什么位置，它都能静止，这种情形称为静平衡。讨论