数字信号处理作业

2-13．已知xa(t)=2cos(2πf0t)，式中f0=100Hz，以采样频率fs=400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)；（2）写出和x(n)的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。解：(1))(ˆtxa)(ˆtxa)(ˆtxa)(ˆtxatttttxXtttttaade]ee[de)cos(2de)()j(jjjj0j00)](δ)(δ[π2)j(00aX（2）)(δ)cos(2)(δ)()(ˆ0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx-)cos(2)(0ms5.21radπ200π2s00fTf（3）])(δ)(δ[π2)jj(1)(ˆs00ksksaakkTkXTjX式中rad/sπ800π2ssf)]π2(δ)π2([π2e]ee[e)cos(2e)cos(2e)()e(00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn式中ω0=Ω0T=0.5πrad2-16．已知112122113)(zzzX求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。解：X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。三种收敛域对应三种不同的原序列。1()[3()22](1)2nnxnun=-??-(2)收敛域0.5|z|2:（1）收敛域|z|0.5：)1(22)()21(3)(nununxnn（3）收敛域|z|2:)(22213)(nunxnn3-13．已知序列x(n)=anu(n)，0a1,对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点，采样序列为j2π/e()()|0,1,,1kNzXkXzkN求有限长序列IDFT［X(k)］N。解:)()(~)]([IDFT)(nRnxkXnxNNlNnRlNnx)()(lNlNnnRlNnua)()(由于0≤n≤N－1，所以00001)(lllNnlNnu即≥≥因此0()()()1nnlNNNNNlaxnaaRnRna3-14．两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0n0,8≤ny(n)=0n0,20≤n对每个序列作20点DFT，即X(k)=DFT［x(n)］k=0,1,…,19Y(k)=DFT［y(n)］k=0,1,…,19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等,为什么？解:设fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n)20y(n)。fl(n)长度为27，f(n)长度为20。由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为mlnRmnfnf)()20()(20只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)=fl(n),所以f(n)=fl(n)=x(n)*y(n)7≤n≤193-18．用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F≤50Hz，信号最高频率为1kHz，试确定以下各参数：(1)最小记录时间Tpmin；(2)最大取样间隔Tmax；(3)最少采样点数Nmin；(4)在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。解:（1）已知F=50Hz，因而s02.05011minpFT（2）ms5.010212113maxminsmaxffT（3）pminmin3max0.02s400.510TNT（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大1倍，即为0.04s，实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。80ms0.5s04.0minN3-19．已知调幅信号的载波频率fc=1kHz，调制信号频率fm=100Hz，用FFT对其进行谱分析，试求：(1)最小记录时间Tpmin;(2)最低采样频率fsmin;(3)最少采样点数Nmin解：调制信号为单一频率正弦波时，已调AM信号为x(t)=cos(2πfct+jc)［1+cos(2πfmt+jm)］所以，已调AM信号x(t)只有3个频率：fc、fc+fm、fc－fm。x(t)的最高频率fmax=1.1kHz，频率分辨率F≤100Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数，以便能采样到这三个频率成分）。故ms10s01.010011minpFT(1)(2)sminmax22.2kHzFf(3)22102.2101033minpmaxpminfTTTN5-1.已知系统用下面差分方程描述:)1(31)()2(81)1(43)(nxnxnynyny＋－＝试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。解：将原式移项得)1(31)()2(81)1(43)(nxnxnynyny将上式进行Z变换，得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY21181431311)(zzzzH(1)按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。题1解图（一）(2)将H(z)的分母进行因式分解：)411)(211(31181431311)(111211zzzzzzzH按照上式可以有两种级联型结构:①1114111211311)(zzzzH画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。②1114113112111)(zzzzH画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。题1解图（二）(3)将H(z)进行部分分式展开：)411)(211(311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()41)(21(3141zzzzzB413721310)(zzzzH11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。题1解图（三）5-6．题6图中画出了10种不同的流图，试分别写出它们的系统函数及差分方程。解：图(c)H(z)=a+bz－1+cz－2()()(1)(2)ynaxnbxncxn图（i）13221122110111)(zazazazbzbbzH1313223012()()(1)()(2)(3)()(1)(2)ynaaynaaaynaaynbxnbxnbxn6-5．已知模拟滤波器的系统函数如下：a21()1Hsss(1)(2)a21()231Hsss试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。设T=2s。解:Ⅰ.用脉冲响应不变法(1)a21()1HsssHa(s)的极点为121313j,j2222ssa1313jj22221133jj33()1313jj232233jj33()1e1eTTHsssHzzz将T=2代入上式，得1j311j3111112233jj33()1e1e23esin3312ecos3eHzzzzzz21112112111()|1e1e111e1eTTTHzzzzz或通分合并两项得12112132(ee)()1(ee)ezHzzz(2)a2111()123112HsssssⅡ．（1）11a22111,2111121211121221()()|11111(1)(1)(1)(1)(1)123zsTTzHzHszzzzzzzzzzzz(2)11a211111112122121211()()|1123111(1)2(1)3(1)(1)1262zszHzHszzzzzzzzzzz7-8．题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列，N=8，H1(k)=DFT［h1(n)］k=0，1，…，N－1H2(k)=DFT［h2(n)］k=0，1，…，N－1（1）试确定H1(k)与H2(k)的具体关系式。|H1(k)|=|H2(k)|（2）用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？题8图解：（1）由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系：h2(n)=h1((n+4))8R8(n)由DFT的循环移位性质可得)()1()(e)()(11j1482kHkHkHWkHkkk|)(||)(||)(|11482kHkHWkHk(2)由题8图可知，h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件：h1(n)=h1(N－1－n)h2(n)=h2(N－1－n)所以，用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。直接计算FT［h1(n)］和［h2(n)］也可以得到同样的结论。设)(jg11j11e)()]([FT)e(HnhH27)1(21)()(21N)(jg22j22e)()]([FT)e(HnhH所以，群延时为27d)(d1127-13.用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF，要求通带截止频率为π/4rad，过渡带宽度为8π/51rad，阻带最小衰减为45dB。（1）选择合适的窗函数及其长度，求出h(n)的表达式。（2*）用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。解：（1）根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。①根据对阻带衰减及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。查表可知，本题应选择哈明窗。因为过渡带宽度Bt=8π/51，所以窗口长度N为N≥6.6π/Bt=42.075，取N=43。窗函数表达式为)(1π2cos46.054.0)(HmnRNnnN②构造希望逼近的频率响应函数Hd(ejω):jj(1)/2ddg(e)()eNHHjcce00≤≤≤式中tcp14π21,0.0833π2251BN③求hd(n):πjjjjddπc11()(e)edeed2π2πsin[()]π()ccnnhnHnn④加窗:cdsin[()]2π()()()0.540.46cos()π()1NnnhnhnwnRnnN题13解图7-14.要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波，要求：通带截止频率为10kHz，阻带截止频率为22kHz，阻带最小衰减为75dB，采样频率为Fs=50kHz。用窗函数法设计数字低通滤波器。（1）选择合适的窗函数及其长度，求出h(n)的表达式。（2*）用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。解：（1）根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。①根据对阻带衰减及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。本题要求设计的