信号与系统412 双边拉普拉斯变换

4.12双边拉普拉斯变换在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。1、双边拉普拉斯变换的定义stddFsLftftedtft是一个双边函数，可将其分解为右边函数和左边函数之和abftftutftut则有00ststddbaFsLftftedtftedtbaFsFsaFsbFsft若、同时存在，且二者有公共收敛域，则的双边拉氏变换为aftaFsbftbFs右边函数的拉氏变换和左边函数拉氏变换之和。baFsFs)(sFdaFsbFsft如与没有公共收敛域，则的双边拉氏变换就不存在。2、如何求左边函数的拉氏变换bFs0stbbFsftedt令t，则上式成为0sbbFsfed再令sP，则上式成为0PbbFpfed综上所述，求取左边函数的拉氏变换bFs可按下列三个步骤进行：tbf（1）令，构成右边函数；bfbFp（2）对求单边拉氏变换得；ppsbFs（3）对复变量取反，即，就求得。ttftetet0例1求双边指数函数，的双边拉普拉斯变换。解：首先求右边函数的拉氏变换aFs1,aaFss左边函数的拉氏变换bFs求取如下：（1）0,bbtffte；（2）1bbFpLfLep1,psbbbFsFps（3）0aFsbFs因为，所以和有公共收敛域，j0故dFs存在并为22112,dabFsFsFssss二.双边拉普拉斯反变换例2求246dFsss，的时间原函数。收敛域分别为46（1）6（2）4（3）14p26p解：（1）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为，右侧极点为。j6400taft左侧的极点对应于的右边函数将dFs展开成部分分式有1146dFsss1414taftLeuts0tbft右侧的极点对应于的左边函数16sbftbft对应于的是左边函数，的求取如下sp1166()sPFpsp①令，得；②对()Fp求单边拉氏反变换，得16()bfLFpeu③令=-t，即6tbbtftfeut最后得其解为46ttfteuteut三.双边信号作用下线性系统的响应3ttfteuteut2thteut例3已知激励信号，系统冲激响应为，求系统的响应。解：由双边拉氏变换有113131,ddabFsLftFsFsss1,22HsLhts而dFsHs21可见，与有公共收敛域，故Rs存在，则有2123dRsFsHssss121,21s1s2s31s由收敛域可知，为右侧极点，对应的左边时间函数为111tbdrtLets23s,s12321223ttadrtLeeutss均为右侧极点，对应的右边时间函数为故系统的响应1232tttdabrtLRsrtrteeuteutRC)(tvc)(te)()(tEute12REC)(tvc例RCS1)(sVc)(sE)()(tEutesEsE)(0RCsEsERscscsEsVc111)()(01RC)()()(1tuEetEutvtRCc0t)(tvcE4.13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系若信号是有始信号，可从已知的单边拉氏变换求傅氏变换双边拉氏变换tjs单边拉氏变换tjs0傅氏变换tjs00)(,0tftjsetutfFtfLt])()([)]([?0.10收敛边界落于s平面右半边0单边拉氏变换收敛域对应增长函数的情况)()(tuetfat0aassF1)(a不存在傅氏变换0.20收敛边界落于s平面左半边对应衰减函数的情况)()(tuetfat0aassF1)(a存在傅氏变换ajF1)(jssFF|)()(0.30收敛边界位于虚轴对应阶跃函数或等幅振荡函数的情况)()(tutfssF1)(存在傅氏变换)(1)(jF)(|)()(jssFF若收敛边界位于虚轴，则极点均在左半平面和虚轴上1.若虚轴只有单极点)()()(sFsFsFiaNnnnajsKsFsF1)()(NntjnatueKtftfn1)()()(NnnnjsKsFF1)(|)()()()sin()(0tuttf)(sF)(F??)(2/)(2/))(()(000002020jsjjsjjsjsssF)]()([2)(|)()(0020201jksFFNnnnjs2/1jk2/2jk0102例2.若虚轴有多重极点NnknnajsKsFsF1)()()(NnnkknjskjKsFF1)1(1)()!1(|)()()()(ttutf)(sF)(F??21)(ssF)('1)(2jF例