信号与系统-第3章例题

例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数ttf11T2/T0解：直接代入公式有0d)(100TttfTa周期信号的傅立叶级数表示直接代入公式有0)(sin12)sin(12dcos)1(2dcos)1(2dcos)(220000200200020220TTTTTTntnnTtnnTttnTttnTttntfTa,5,3,1=4,6,4,2=0)cos1(2)cos(12cos12dsin)(220000200220nnnnntnnTtnnTttntfTbTTTTn所以有fttttnnt()[sinsinsinsin]413315510000,5,3,1=4,6,4,2=0nnnbn0na例：将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：直接代入公式有tAtfTT222Sa=22sinde1de)(100022j-22j-00nTAnnTAtATttfTFtnTTtnne)2Sa(e)(00j-=0jtnnntnnnTAFtf所以例：试求图示周期矩形脉冲在有效频带宽度内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比，其中已知A=1,T=0.25s,τ=0.05s。tAtfTT222~0解：根据前面傅立叶级数展开，图示周期矩形脉冲的傅立叶系数为2Sa0nTAFn40Sa510nFn信号总平均功率为40140122222222000.0d14d)(1d)(1tttfTttfTPTT将A＝1，T＝0.25s，τ=0.05s，ω0=2π/T=8π代入得在有限带宽内有直流分量、基本分量和四个谐波分量。有限带宽内信号各个分量的平均功率之和为2~042201222222212234()[Sa()Sa()Sa()Sa()]0.1806555555nnPFF'0.18060.90490.4%0.2000PP'()ft202202ETttTETttT0nb02200222222()[]TTTTEEaftdttdttdtETTTT)(tftTT2T2TE解:例：有一偶函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。f(t)在一个周期内可写为如下形式f(t)是偶函数，故])[()(1122nnE)()()(为偶数为奇数nnnE042221,3,5412()cos2nEEnfttnTE24E294E2254E0111315nA]sin1sin[8)2(cos241201201121120tdtntnntTETtdtntTETaTTTnt)(tf-1-21234-321-4t)(1tf-1-21234-32-4t)(2tf-1-21234-31-4)2cos()2(Sa5.0)(12tnntfn)2cos()2(Sa5.1)(1tnntfn[例题3]2()22TTftttT0na)(tft1T解:例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。f(t)在一个周期内可写为如下形式f(t)是奇函数，故tTnntfnn211211sin)()(20111314nA13221121201211121201120)1(2)sin)(1cos(8sin24)2(sin)(4nTTTnntnntnntTtdtntTTTtdtntfTb()ft42424442442TtTtTTtTtTTtTtTt)(tfT2T4T12T0]cos)42(cos4cos)42([2cos)(2124144142221tdtntTtdtntTtdtntTTtdtntfTaTTTTTTTTn解:例：有一奇谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。f(t)在一个周期内可写为如下形式若则其中，a,b均为常数。1122()(),()()ftFftF1212()()()()aftbftaFbF说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。1()π()jF()ut11sgn()22t例:]sin)42(sin4[4)2(sin)(41241401120tdtntTtdtntTTTtdtntfTbTTTTn为偶数为奇数nnnn0)1(821222sin8cos4])sin)(1cos()sin)(1cos[(16222411241211140121112nntnTntnntnnttnntnntTTTTTT[例题]试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数22tA)(tf[解]非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为2/||02/||)(ttAtf，，由傅立叶正变换定义式，可得dteAdtetfjFtt22jj)()()2(SaA22A)(F分析：2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得3.信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。5.脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。tft22TTE(a)三脉冲信号的波形O解：0()Sa2FEπ20FEO(b)令f0(t)表示矩形单脉冲信号，其频谱函数为F0(ω)，则12221812()(1)sin12nnjnfttjnT,,28011nA298－22581315[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。0A2t2)(tf0At)(1tfT•[解]无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t)如右图，)2()(SaAjFTj1)()(-ejFjF)()(1TtftfTj-)2(eSaA因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为例:求取样信号的频谱。)(Sa)(ttfcc解：此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里根据傅立叶变换的对称性来求。由前面知道，高度为E，宽度为τ的对称矩形脉冲的频谱为根据傅立叶变换的对称性，有()()2FESa()()2()2()2()2tFtESafEGEG上式中，令，E=1，则有c22()()cccSatG4T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(21111114321401nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn解:例：有一偶谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。、、212sin12)(2jtTnnEtfjn)cos1()cos23cos12(cos)sinsin(24321401nnEnnnnEtdtnEtdtnETbTTTn为偶数为奇数nnEn20E012nA2E3E1416解：f(t)可表示为例：已知三角脉冲信号如图所示，求它的频谱F(ω)ttf10()(1)()()(1)()()ttftutututut()11()()()()dftututututdt)](2)()([1)(22tttdttfd对其求一阶、二阶导数得解：f(t)可表示为例：已知截平斜变信号如图所示，求它的频谱F(ω)t()ft01()()()()tftututut()1()()dftututdtt01()()dftftdt1dttdf)(21)2(Sa)(jeF对其求导数得根据矩形脉冲频谱及时移性质知道的频谱为[例2]试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后信号的频谱函数。)2()(SaAjF]cos)([0ttfF)]([21)]([2100jFjF应用频移特性可得[解]已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为]}2([]2([{21)0)0SaASaA0)(jF000)(jF0A2/t2/)(tf2/At2/ttf0cos)([例3]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。•[解])2()2()('tAtAtf2j2j)]('[-AeAetfF)()(jFj)2()2sin(2)(SaAAjF由时域微分特性)2sin(2jA因此有0(A)2/t2/)('tf(A))(tf220At[例4]试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。jtuF1)()]([]1)([)]([jddjttuF[解]已知单位阶跃信号傅立叶变换为:利用频域微分特性可得:21)(•1.线性特性•2.对称互易特性•3.展缩特性•4.时移特性•5.频移特性•6.时域卷积特性•7.频域卷积特性•8.时域微分特性•9.积分特性•10.频域微分特性傅立叶变换性质一览表)(2)(fjtF)(1)(ajFaatf0t-j0)()(ejFttf)]([)(0j0jFetft)()()()(2121jFjFtftf)]()([21)()(2121jFjFtftf)()(jFjdtfdnnn)()0()(1)(FjFjdftnnnndjdFjtft)()()()()()(2121bFaFtbftaf