随机信号与系统课第一章习题部分答案

1第一章习题1-1对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，试求（1）射击次数的概率分布表；（2）射击次数的概率分布函数。解：（1）设事件A：每次射击命中目标事件B：第n次首次命中目标则射击次数的概率分布表为：次数123…nPBp1pp21pp…11npp（2）射击次数的概率分布函数：1()(1)nPBpp.1-2假设测量某一目标的距离时，随机偏差X（单位m）的分布密度为21(200)()exp[]3200402πxpx试求在三次测量中，至少有一次测量偏差的绝对值不超过30m的概率。解：由随机误差分布密度可知，2()200,1600EX设事件A：一次测量中的测量误差的绝对值超过30m；事件B：三次测量中至少有一次测量误差的绝对值不超过30m；则302001212124.2524.25140xxPA3111[2(4.25)1]PBPBPAPAPA1-3对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，试求射击次数的数学期望和方差。解：设射击次数为X，由题1-1，知其概率分布函数为1()(1)nPXpp，所以其数学期望为11()(1)nnEXnpp.设11(1)niniSip，则Sn=1+2(1-p)+3(1-p)2+…+(n-1)(1-p)n-2+n(1-p)n-1①(1-p)Sn=(1-p)+2(1-p)2+3(1-p)3+…+(n-1)(1-p)n-1+n(1-p)n②①-②，得pSn=1+(1-p)+(1-p)2+(1-p)3+…+(1-p)n-1-n(1-p)n，化简得11(1)(1)nnnppSnpp.2∴11(1)11()limlim[(1)]lim[(1)]nnnnnnnpEXpSnpnpppp.射击次数的方差为22()()[()]DXEXEX，∵2211()(1)nnEXnpp，11()(1)nnEXnpp，∴22111()()()(1)(1)nnEXEXEXnnppp.设11(1)(1)niniQiip，则Qn=1×0+2×1(1-p)+3×2(1-p)2+…+(n-1)(n-2)(1-p)n-2+n(n-1)(1-p)n-1③(1-p)Qn=1×0(1-p)+2×1(1-p)2+3×2(1-p)3+…+(n-1)(n-2)(1-p)n-1+n(n-1)(1-p)n④③-④，得pQn=2×1(1-p)+2×2(1-p)2+2×3(1-p)3+…+2(n-1)(1-p)n-1-n(n-1)(1-p)n，整理得11112(1)[(1)](1)(1)2(1)(1)(1)ninnnnipQpipnnppSnnp又11(1)(1)nnnppSnpp，∴222(1)2(1)2(1)(1)(1)nnnnppnppQnnpppp，∴22212(1)(22)(1)()limlim[(1)(1)]nnnnnppnpEXpQnnpppp2222(1)222(1)lim(1)lim(1)lim[(1)(1)]nnnnnnpppnpnnppppp.∴222222(1)111()()[()]().ppDXEXEXpppp1-4对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a，b]内，求圆面积的分布密度和数学期望。解：设X为圆直径的近似测量值，则X的概率密度函数为1,,0xabpxbaxab3分布函数为,01xxabbaFxxaxb设圆的面积为Y，则Y=πX2/4，所以圆面积的分布函数2222()()()(),0yYyFyFYyFyXypxdxy计算得22220042()()4424YyayFybaaybyyb∵Y=πX2/4，∴圆面积Y的数学期望22()()()44xxEyEpxdx.∴233221()d()()412()12baxEyxbaaabbbaba.1-5设随机变量X和Y互相独立，且服从正态分布。试证明随机变量Z1=X2+Y2与随机变量Z2=X/Y也是独立的。证明：不妨设X和Y均为标准高斯变量，由于22222222(,)22det2(1)1(,)rrxyxyrxyzxxyyyyxy，∴1212122222[(,)][(,)](),(,)2(1)2(1)pzzpyzzpypzzzxzx.由于Z1=X2+Y2，Z2=X/Y，反解X、Y，可得122212211zxzzzyz或122212211zxzzzyz代入，可得Z1与Z2的联合分布密度为42121122222222221212222()111(,)[exp()exp()2(1)2(1)2(1)2(1)2211exp()exp()]2(1)2(1)22,xzzzpypzzzzzzzzzzz1221exp().2(1)2zz其边缘密度为1112222211211()(,)dexp()d22111exp()arctanexp(),2222zpzpzzzzzzzz121211202220221()(,)dexp()d2(1)211d.(1)(1)uzpzpzzzzzeuzz∴有1212(,)()()pzzpzpz，所以Z1与Z2二者相互独立.1-6设随机变量X和Y是独立的，且分别服从参数为a和b的泊松分布。试应用特征函数来证明随机变量Z=X+Y服从参数为a+b的泊松分布。证明：（方法一）不妨设~Xa，~Yb，则12jxxRSed，()!mbbPYmem因为X、Y相互独立所以(,)()()PXkYmPXkPYm因此有下式：0(,)()()(,)niPXiYniPXiPYniPXiYni0!()!ininabiabeeini()()001()!!!!ininnababniiiabaeebinibini()0!()!!!nnabiibanenbini()()(1)!!!nnnnababnabnababbabeeenbnbn5所以Z=X+Y服从参数为(a+b)的泊松分布,证毕.（方法二）：由条件可知随机变量X、Y的特征函数分别为10!jkaejxjkaXkajEeeeek10!jmbejyjmbYmbjEeeeem所以()(1)abjXYZjjej又X、Y独立，由特征函数性质可知Z=X+Y服从参数为(a+b)的泊松分布,证毕.1-7设泊松分布为()(0,1,)!kePXkkk试证明：（1）均值和方差皆为；（2）特征函数为exp[(ej-1)]。证明：（1）100!1!kkkkeEXkeeekk2220,!kkeEXkk22[]DXEXEX.（2）00!!kjkjxjkkkeejpxedxeekkexp1.jejeee1-8均值和方差分别为和2的高斯密度函数为221()()exp[]22πxpx试证明（1）特征函数为22(j)exp(j)2（2）高斯变量的中心矩为0,(odd[()]135(1),(evenmmmEXmm=）=）6证明：（1）ejxjpxdx222211exp222yjyjxxedxeedy22212222212jyjjeedye（2）(mmmEXXxfxdx）22212xmxedx.令,xt则22(2tmmmXtedx）当k为奇数时，因为被积函数是奇函数，故22(02tmmmXtedx）当m为偶数时，因为被积函数是偶函数，故2202(2tmmmXtedx）令22,tu212220022(2mtmmmmumXtedxuedu）221(1)!!2mmmmm，证毕.1-9已知随机变量x1和x2相互独立，且x1，x2～N（μ，σ2）。试求y=2x1+3x2的概率密度函数。解：1212,YDFyPYyfxxdxdx3222121,yxdxfxxdx23222123,2yxYYdFyyxdfyfxdxdxdydy22223()221122yxxedx225261213ye.1-10考虑p阶子回归序列模型71122kkkpkpkxaxaxaxe式中，ai（i=1，2，…，p）称为自回归系数；ek～N(0，σe2)，且E[xkmek]=0，0mp。令k=p，p+1，…，N-1，得到Np个观测序列{xp，xp+1，…，xN1}，且有11220112111212122221122211ppppppppppppppppNNNpNpNxaxaxaxexaxaxaxexaxaxaxexaxaxaxe上式表示，在给定x1=[x0，x1，…，xp1]T、a=[a1，a2，…，ap]和ek～N(0，σe2)的条件下，观测序列x2=[xp，xp+1，…，xN1]T是由白噪声序列ep，ep+1，…，eN1的线性变换而得到的。试求到x2的概率密度p(x2|x1，a，e2)。解：12011111221222123111ppppppppppppppNNNNpNxxxxexxxxeaxxxxeaxxxxe22122121(,,)(|,)(),,,,eeeapappaxxxxx,而E[xpep-m]=0，E[xpep]≠0，E[xpxp-m]=0，0mp，由E[xkmek]=0可知E[(ekm+a1xkm-1+…+apxkm-p)ek]=0，∴E[ekmek]=0，m≠0∴222221(|,),epeapexx.1-11假设x和y是独立的随机变量，且x1，x2～N（0，σ2）。考虑变换221/21()0,tan(/)(ππ)rxyyx试求随机变量r和的联合密度函数，并证明二者是相互独立的。解：22(,)1de