AWGN 信道下QPSK 信号SNR 似然估计方法分析与仿真

AWGN信道下QPSK信号SNR似然估计方法分析与仿真邓招，胡飞（中国电子科技集团公司第三十研究所，成都,610041，E-mail:@163.com）摘要文章研究了AWGN信道下QPSK信号的信噪比似然估计问题。对非数据辅助的几种似然估计算法进行了仿真分析，仿真分析结果表明:在高信噪比时，5种算法均有较好性能，而在低信噪比时有较大偏差。关键词SNR估计；最大似然估计；QPSKSimulationandAnalysisofSNRMaximumLikelihoodEstimationforQPSKModulationinanAWGNChannelDENGZhaoHUFei(No.30InstituteofCETC,Chengdu,China610041)AbstractTheproblemofSNRMaximumLikelihood(ML)estimationinAWGNchannelwasinvestigatedinthepaper.Severalalgorithmsofnon-data-aided(NDA)MLestimationweresimulatedandanalyzed.ThesimulationshowsthatthefivemethodsdiscussedinthepaperallhavehighperformanceathighSNRlevel,whilehavesomewarpatlowSNRlevel.KeywordsSNRestimation;Maximumlikelihoodestimation;QPSK1引言在数字通信系统中，信噪比（Signal-to-noiseratio,SNR）作为表征信道特性的重要参数，在很多技术和理论的实现方面有重要的作用，比如：功率控制、速率自适应、频率自适应等等。SNR一般定义为信号能量与噪声能量之比。AWGN信道下对信噪比的估计有多种方法，文献[1]将这些方法归纳为四类：分割符号矩估计（Split-SymbolMomentsEstimator,SSME）、最大似然估计（Maximum-Likelihood,ML）、二阶矩和四阶矩估计（Second-andFourth-OrderMoments,M2-M4）、信号变化率估计（Signal-to-Variation,SVR），该文得到了这样的仿真结果：基于数据辅助（DataAided,DA）的最大似然估计方法具有最优的性能；而基于数据判决导向（DataDecisionDirected,DD）的最大似然估计方法在信噪比较高是与前者接近，较低时性能很差。文献[2，3，4]提出了几种最大似然准则迭代计算SNR的方法，其中文献[4]还给出了一种基于统计参量的迭代方法。文献[5]针对最大似然估计方法的缺陷，提出了一种多项式逼近的方法，在[-5,12]dB范围内估计值比较精确。这些方法虽然各不相同，但是估计的精度均较高。本论文主要研究以上各种SNR似然估计方法，并在AWGN信道下，对QPSK调制的SNR似然估计方法作仿真分析，并进行讨论。2系统模型kakhkhnmAnznykr图1AWGN信道SNR估计系统模系统模型如图1所示，它对实、复信道都适用，在接收端使用了匹配滤波器，复信道中信噪比为0sEN，实信道中的信噪比为02sEN（Es为每符号能量，0N为噪声功率谱密度）。这里我们考虑它为复信道，针对QPSK信号进行分析。假设系统均衡和同步的剩余误差足够小，不会对信噪比估计造成太大的影响，这样符合了加性高斯白噪声的条件，系统成型滤波器和匹配滤波器均为均方根升余弦（RRC）滤波器。考查估计点数为N，信源序列ka为QPSK调制信号。经采样后的信息序列为nknNkmah（1）其中，kh，{(1)/2,...,1,0,1,...,kK(1)/2}K为RRC滤波器系数，且当||(1)/2KK时，0kh。这样在接收端的输入信号为nnnyAmz（2）式中，nz是复加性高斯白噪声，均值为零，单位方差。2A、2可以叫做信号和噪声的功率因子。由于RRC滤波器的脉冲响应是实的，且为偶对称，也就是说*kkhh。那么接收信号经匹配滤波器后然后采样得到0kkkrAagw(3)式中，0g是升余弦脉冲全响应的峰值,其抽样如下式：*kkklkllghhhh（4）kw表示经匹配滤波器后被采样得到的噪声，由下式表示：klnllwhz（5）kr是判决变量，因此SNR的表达式可以写成0{||}{}kkEAagSNRVarw（6）其中{.}E、{.}Var分别表示数学期望和方差。当把RRC滤波器的系数的平方和归一化后，可使SNR独立于信道，通过适当调整A和来设置SNR。这样可以简化上式得到22ASNR（7）所以信噪比的估计问题就转化为如何估计出系数A和。3SNR的估计算法3.1最大似然估计算法最大似然估计是1966年由Kerrt、Gagliard和Thomas基于最大似然估计理论最先应用于信噪比估计的。下面介绍算法的估计原理。对QPSK调制，接收端采用匹配滤波器，假设理想的载波同步和时序同步。我们得到的信号可以改写成两路正交基带信号的形式()()kikqkiikjqkrrrAmnAmn（8）式中A为信号强度，ikn，qkn分别为等效的基带噪声，其均值为零，方差为2；im，jm分别为I，Q两路传输的二进制信息。接收信号的概率密度分布是二维的，两个支路相互独立。接收序列的对数似然函数可以写为212(,,...,|,)ln(2)2NNNLrrrA22211[()()]2NikikqkqkkrmArmA（9）对数似然函数对A取偏导。并令其为零，得到SNR表达式为22211NkkASNRrAN21222111[()]211()[()]22NikikqkqkkNNikqkikikqkqkkkmrmrNrrmrmrNN（10）这是基于DA的SNR最大似然估计；对于DD，我们用硬判决，有ˆˆsgn(),sgn()ikikqkqkmrmr（11）将其代入式（10），得到21222111[(||||)]211()[(||||)]22NikqkkNNikqkikqkkkrrNSNRrrrrNN（12）这就是基于DD的SNR表达式。最大似然估计算法的似然函数的计算太复杂，难以实际工程应用。文献[2，3，4]分别提出了四种迭代方法，下面介绍它们的原理。假设传输信息是等概分布的，I，Q两路的概率密度函数为222()/221()cosh()2krAkkrAfre（13）长度为N的接收序列的对数似然函数可以写为212(,,...,|,)ln(2)2NNNLrrrA222211(2)2NikqkkrAr2211lncosh()lncosh()NNqkikkkrArA（14）对A求偏导，并令其为零，得到2211[tanh()tanh()]2NqkikikqkkrArAArrN（15）其中，2222211()2NikqkkrrAAN（16）对式（15）和式（16）的求解，就成为似然估计的关键。假设函数2211()[tanh()tanh()]2NqkikikqkkArArgArrANAA（17）3.1二分法迭代算法文献[2]采用二分法迭代，具体求解步骤为：a.设定minA，maxA；b.取minmax()/2iAAA；c.代入式（15）得到1iA，如果1iiAA，取minA＝iA；否则取maxA＝iA，返回b，直到迭代次数完成；d.计算2121iiAA，得到SNR。3.2普通迭代算法文献[3]采用普通的迭代方法，可表示为：011(||||)2NikqkkArrN（18）12211[tanh()tanh()]2NqkkikkkikqkkrArAArrNAA（19）迭代次数完成后，把最终的1kA作为A的估计值，从而计算出SNR。3.3梯度迭代算法文献[4]提出了梯度迭代方法，可表示为：011(||||)2NikqkkArrN（20）1()'()kkkkgAAAgA（21）2222222(3)()'()()()kkkkkkAAAgAAA22222211[tanh()tanh()]2NkqkkikikqkkkkArArrrNAA（22）利用式（17）得到()kgA，式（22）为()kgA的导函数。迭代次数完成后得到的1kA就是A的估计值，从而计算出SNR。3.4基于统计参量的迭代算法上述三种迭代都是基于对式（15）的求解，而文献[4]提出的基于统计参量的迭代方法是基于式（12）的，具体方法为：011(||||)2NikqkkArrN(23)2222/[2()]021/[2()]222()2()()2()kkkkAAkkAAkkkkeAAAAerfAeAA（24）这种迭代只用到了一次统计参量，不需要每次迭代都进行统计参量的计算，也不需要对输入数据进行存储。3.5多项式逼近算法为了克服似然估计的缺陷，文献[5]提出了一种多项式逼近求信噪比的方法。因为2222/222()()||22ikikqkqkkkIQrnrnrnASNR（25）也就是说/IQSNRSNR，即整个复信号的信噪比与实部和虚部的信噪比相同。那么只需对实部或虚部进行处理估计出的信噪比即可。令22()/[(||)]ikikzErEr或22()/[(||)]qkqkErEr，容易得到222()ikErA（26）又222/222(||)[()]2AikAEreAerf（27）那么22/221()/[(||)]()2{[()]}2qkqkzErErfeerf（28）通过两个简单的统计计算，可得到()f的值，这就是我们估计的方法。但是由于计算的复杂性，很难有上式得到一个闭式解，通过数据拟合的方法，在的一段取值范围内可以对上式进行多项式近似。文献[5]采用的多项式为45410(0.412929584522352.66418532072905zz326.867240723505388.84039993634297zz5.686585611551351.464045795143920)z（29）这个多项式用于近似和z的关系是比较精确的。对于QPSK信号的估计来说，仅用实部或虚部就可得到结果，但是有用的接收信息没有被完全利用，只有将实部和虚部联合起来估计才是最有效的。那么我们用2222ˆ[()()]/[(||)(||)]ikqkqkqkzErErErEr（30）综合起来，步骤就是首先用（29）式得到z的估计值，然后代入（28）式得到信噪比的估计值。4仿真分析下面对QPSK信号的信噪比似然估计算法进行仿真，主要从用于估计的信号序列长度N对估计算法的影响进行性能测试。一个好的估计算法应该一方面是无偏的（或者具有很低的估计偏差），另一方面应具有很小的估计方差。这样就给出了评价的两个指标：一是与真实值的线性度，一是方差，其中方差的计算公式（对数形式）为：2[10log()10log()]estrealVarSNRSNR（31）在Matlab平台下主要的仿真参数为：QPSK调制；AWGN信道，设定信噪比范围[-5,12],每个信噪比点上统计10次，每次用于估计的统计点数N分别为500，5000；迭代次数K＝10；其中二分法迭代时，初始值min0.1A，max10A；普通迭代采用文献[3]所示方法。仿真结果如下：-6-4-2024681012-6-4-2024681012真实信噪比/dB估计信噪比/dB真实多项式逼近二分法普通迭代梯度迭代基于统