第一章 离散时间信号与系统

第一章离散时间信号与系统1.1离散时间信号1.2线性时不变系统1.3离散系统的差分方程1.4连续时间信号的采样1.1离散时间信号一、常用序列1、单位采样序列d(n)：也称为单位脉冲序列1000()nnnd-101231n单位采样序列()nd1.1离散时间信号2、单位阶跃序列u(n)u(n)01231n…1000()nunnδ(n)=u(n)-u(n-1)0()()kunnmdδ(n)与u(n)之间的关系：1.1离散时间信号3、矩形序列RN(n)当N=4时，R4(n)的波形如图所示矩形序列可用单位阶跃序列表示：R4(n)01231n1010()NnNRnn其它N称为矩形序列的长度RN(n)=u(n)-u(n-N)1.1离散时间信号4、实指数序列如果|a|1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列；如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图示x(n)=anu(n)，a为实数1.1离散时间信号5、正弦序列x(n)=sin(ωn)ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，表示序列变化的速率，或表示相邻xa(t)=sin(Ωt)xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系ω＝ΩTω＝Ω/fs因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到，那么：1.1离散时间信号6、复指数序列式中：设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：由于n取整数，下面等式成立：复指数序列具有以2π为周期的周期性，后面的研究中，频率域只考虑一个周期x(n)=e(σ+jω0)nω0为数字域频率ej(ω0+2πM)n=ejω0n,M=0,±1,±2…x(n)=ejω0nx(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)1.1离散时间信号7、用单位采样序列来表示任意序列任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的移位加权和。即：[例]：用单位采样序列d(n)表示x(n)。mmnmxnx)()()(dx(m)d(n-m)=x(n),m=n0,其它mx(n)n053-3abc解：x(n)=ad(n+3)+bd(n-3)+cd(n-5)1.1离散时间信号二、序列的运算序列的基本运算：序列移位(左,右)、加法、乘法、翻转、尺度变换及卷积等。1.乘法和加法序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图所示。1.1离散时间信号2.移位、翻转及尺度变换x(n+n0)表示x(n)左移n0单位,x(n)的超前序列；x(n－n0)表示x(n)右移n0单位，x(n)的延时序列；x(-n)则是x(n)的翻转序列；x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。(尺度变换)2020年9月18日6时38分1.1离散时间信号卷积和的计算图解法(与卷积积分类似)改换变量：x(k)x(n)，h(k)h(n)折叠：h(n)h(-n)移序：h(-n)h(k-n)相乘：x(n)h(k-n)求和：把x(n)h(k-n)所得的序列相加nzsnkhnxkhkxky)()()(*)()(2020年9月18日6时38分1.1离散时间信号例：已知x(k)={1,2,3,4}，h(k)={2,3,1}，求y(k)=x(k)*h(k)。)(nxn01231234)(nhn012123)(nhn012123解：2020年9月18日6时38分1.1离散时间信号}4,15,19,13,7,2{)(*)()(khkxky)()(nhnxn020k)1()(nhnxn01341k)2()(nhnxn0121662k2020年9月18日6时38分1.1离散时间信号算式法(不进位乘法)例：如前例。解：41519137286421296343211324321}4,15,19,13,7,2{)(*)()(khkxky1.1离散时间信号三、序列的周期性如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：则称序列x(n)为周期性序列。例：x(n)是周期为8的周期序列。4()sin()xnnx(n)=x(n+N),-∞n∞周期为N84()sin(()xnn)1.1离散时间信号一般正弦序列的周期性设：如果：x(n+N)=x(n)，要求:ω0N=2kN=(2π/ω0)k，k的取值要保证N是最小的正整数。当2/ω为整数时，令k=1，序列x(n)的周期为N=2π/ω0；当2/ω为有理数时，k总能取到一个整数，使周期N=2k/ω为一正整数；当2/ω为无理数时，k不管取什么整数，都不能使N=2k/ω为一正整数；则x(n)是非周期序列。x(n)=Asin(ω0n+φ)x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)1.1离散时间信号[例]：求下列两序列的周期N=？(1)x(n)=Acos(n/4+/7);(2)x(n)=Asin(n/5)+Bcos(n/3);解:(1)由于ω=/4,2/ω=2×4/=8为整数，则周期N=8(2)由于ω1=/5,ω2=/3,N1=2/ω1=10,N2=2/ω2=6序列x(n)的周期N为N1和N2的最小公倍数，可得N=[10,6]=301.2线性时不变系统一、离散系统的定义设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关系用下式表示：其框图如图所示:在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物理过程可用这类系统表征。y(n)x(n)][Ty(n)=T［x(n)］1.2线性时不变系统二、线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统。设:那么线性系统一定满足下面两个公式：将以上两个公式结合起来，可表示成：y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)T［ax1(n)］=ay1(n)线性系统的可加性；线性系统的比例性或齐次性y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)a和b均是常数1.2线性时不变系统三、如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化;或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。或者说若系统的输出随输入延迟而延迟同样单位；则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：y(n)=T[x(n)]y(n-n0)=T[x(n-n0)]1.2线性时不变系统【例】判断系统y(n)=3x(n)+4的线性和时不变性？解：1.判断线性特性设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即：T[ax1(n)]=3ax1(n)+4;T[bx2(n)]=3bx2(n)+4;而T[ax1(n)+bx2(n)]=3ax1(n)+3bx2(n)+4ay1(n)+by2(n),所以系统是非线性系统。2.判断系统的时不变特性设y(n)=T[x(n)]而T[x(n-n0)]=3x(n-n0)+4=y(n-n0)，是时不变系统。第1章离散时间信号与系统例1.2.2设线性时不变系统的单位采样响应，，其输入序列，求输出序列y(n)。解:根据线性时不变系统输入输出关系，有)()(nuanhn01a()()xnun()()()()()()()()()**mmmynxnhnhnxnhmxnmaumunm0,nmma对于0,,n111()nauna2.5离散系统的因果性和稳定性四、系统的因果性定义1：当n0时,序列值恒等于零的序列称之为因果序列。定义2：系统的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，与n时刻以后的输入序列无关的系统称为因果系统。因此系统的因果性是指系统在物理上的可实现性。定理：线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足：h(n)=0，n0结论：因此，因果系统的单位取样响应必然是因果序列2.5离散系统的因果性和稳定性五、系统的稳定性系统稳定的意义：关系到系统能否正常工作。定义1：若存在一个数M，对于任意n都满足|x(n)|M，称该序列有界。定义2：输入序列有界，能保证输出信号序列也有界的系统称为稳定系统。定理：系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为：()nhn2.5离散系统的因果性和稳定性【例】设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：1、因果性：由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。2、稳定性：(h(n)是否满足绝对可和)讨论：当|a|1时，当|a|≥1时，|h(n)|→，此时系统不稳定。∴当|a|1时，系统是因果稳定的，|a|≥1时，系统因果非稳定||1||1|||||)(|100limaaaanhNNnnnnn11()nhna系统稳定2.5离散系统的因果性和稳定性【例】判断下列系统的因果稳定性。（课堂练习）0012()()()()()()xnnnknnyneynxk非因果稳定因果稳定1.3时域离散系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程系统的输入输出描述法：不管系统内部的结构，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系的方法。模拟系统，用微分方程描述系统输出输入之间的关系。时域离散系统，用差分方程描述描述输出输入之间的关系。线性时不变时域离散系统，常用线性常系数差分方程来描述。线性时不变系统的描述方法有:(1)系统的单位脉冲响应h(n)(2)系统的频率响应H(e-jω)(h(n)的傅里叶变换)(第二章)(3)系统的差分方程(4)系统函数(h(n)的Z变换)(第二章)(5)系统结构(第五章)1.3时域离散系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程1、线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i的取值最大与最小之差确定的。在左式中，y(n-i)项i最大的取值为N，i的最小取值为零，因此称为N阶的差分方程。01010()()()()(),1MNiiiiNMiiiiynbxniayniaynibxnia或01010()()()()(),1MNiiiiNMiiiiynbxniayniaynibxnia或01010()()()()(),1MNiiiiNMiiiiynbxniayniaynibxnia或N式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，没有相互交叉项，故称为线性常系数差分方程。1.3时域离散系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程2、线性常系数差分方程的求解已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种：(1)经典解法：类似模拟系统中求解微分方程的方法，包括齐次解和特解，由边界条件求待定系数。(2)递推解法：由初始条件，逐级用计算机递推求解，只能得到数值解，不容易得到封闭解（公式解）(3)变换域方法：将差分方程变换到Z域中进行求解，方法简单有效。1.4连续时间信号的采样1.抽样电子开关的作用S等效一个矩形脉冲串单位冲激串()()()()()()()naaanPttnTxtxtPtxttnTdddd频域分析：根据频域卷积定理：两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积。可以推导得：()()()()()()()naaanPttnTxtxtPtxttnTdddd()