循环平稳信号分析

2020/9/17机械工程及自动化研究所现代信号处理技术及应用第四章循环平稳信号分析西安交通大学机械工程学院研究生学位课程第四章循环平稳信号分析4.1循环平稳信号的定义4.2信号的循环统计量4.3基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4循环平稳信号处理的工程应用引言在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用，最常用的统计量有均值（一阶统计量）、相关函数与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、四阶等高阶统计量。在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循环平稳信号。具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。引言机械循环平稳信号具有以下特点：(1)正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计量基本不随时间变化。(2)故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。(3)统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法，对机械故障诊断具有重要的意义。第四章循环平稳信号分析4.1循环平稳信号的定义4.2信号的循环统计量4.3基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4循环平稳信号处理的工程应用4.1循环平稳信号的定义严格意义上的循环平稳信号是指时间序列具有周期时变的联合概率密度函数011(,)(,)NNiiiipxtpxtnT循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即N统计阶数，T0是基本循环平稳周期，n是一个给定的整数011{()}{()}NNiiiiExtExtnT阶循环平稳过程的定义：若随机过程从一阶到阶的各阶时变统计量都存在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同），则称该随机过程为阶循环平稳过程。(4.1.1)(4.1.2)4.1循环平稳信号的定义具有周期变化的统计量称为循环统计量。循环统计理论的研究迅速发展是在20世纪80年代中期。对二阶循环统计量研究最有影响的是W.A.Gardner，他提出的谱相关理论和冗余概念。近几年，随着高阶循环统计量这一数学工具诞生，循环平稳信号的研究也从二阶发展到了高阶。陈进、姜鸣等分析了高阶循环统计量理论在谐波恢复、系统辨识、特征提取等中的应用，指出将高阶循环统计量理论应用于机械设备的状态监测和故障诊断领域具有重要意义第四章循环平稳信号分析4.1循环平稳信号的定义4.2信号的循环统计量4.3基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4循环平稳信号处理的工程应用4.2信号的循环统计量4.2.1一阶循环统计量4.2.2一阶循环统计量—循环均值4.2.3二阶循环统计量—循环自相关函数4.2.4功率谱密度函数4.2.1一阶循环统计量循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量，并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号，抽取信号时变统计量中的周期信息。循环统计量的一般表达式为210()lim(,)TjtxkxkTTCctedt(4.2.1)一阶循环统计量对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率（包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个，所有循环频率的总体构成循环频率集循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循环平稳特性。循环基频011(,)(,)NNiiiipxtpxtnT0/nT循环频率从物理意义上讲，与傅里叶变换中的频率一样，都表示信号的频率4.2.2一阶循环统计量—循环均值循环平稳过程的一阶循环统计量是指信号的均值是时间的周期函数。00()cos(2)()xtxftnt0000()()cos(2)()cos(2)xmtExtExftEntxft可见均值是时间的周期函数，该信号是循环平稳信号，因此无法直接使用时间平均估计信号的均值。对上述循环平稳信号以T0为周期进行采样，则这样的采样值显然满足遍历性，从而，可以用样本平均来估计其均值01()lim()21NxNnNMtxtnTN的统计平均(4.2.2)(4.2.4)(4.2.3)一阶循环统计量—循环均值可以看出式(4.2.4)是T0的周期函数,2()jtxxmMtMe00/22/201()TjtxxTMMtedtT将式（4.2.4）代入式（4.2.6）中，00/220/20/222/21lim()(21)1lim()()NTjtxTNnNTjtjttTTMxtnTedtNTxtedtxteT傅里叶展开其中(4.2.5)(4.2.6)(4.2.7)一阶循环统计量—循环均值4.2.3二阶循环统计量—循环自相关函数对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以写成(;){()(xRtExtxt假定此时变自相关函数具有周期性，并且周期为T0，则可以用时间平均将相关函数写成001(;)lim()()(21)NxNnNRtxtnTxtnTN0/mT取，相关函数的傅里叶展开为0(2/)2(;)((jTmtjtxxxmmRtReRe(4.2.9)(4.2.10)二阶循环统计量—循环自相关函数式（4.2.10）中的傅里叶系数称为循环自相关函数00/22/201()(;)TjtxxTRRtedtT将式（4.2.9）代入式（4.2.11）得0000/2*200/20/2*200/2011()lim()()211lim()()(21)NTjtxTNnNNTjtTNnNRxtnTxtnTedtTNxtnTxtnTedtNT将上式改写成2*22*21()lim()()()()TjtxTTjttRxtxtedtTxtxte（4.2.11）（4.2.12）（4.2.13）二阶循环统计量—循环自相关函数幅值调制信号为例对循环自相关函数的性能作仿真分析0()(1cos(2))cos(2)cxtAftft2000201cos(2)1cos(2)=0;22cos(2)cos(2)=;2cos(2)=2;2()14cccxAffAfffAffRe222002201cos(2)=2;2cos(2)=(2);4=(22);16jccjcjcAffAefffAeff（4.2.14）二阶循环统计量—循环自相关函数二阶循环统计量—循环自相关函数循环自相关函数三维图及其切片图4.2.4功率谱密度函数对于平稳的随机信号来说，其自相关函数与功率谱密度函数是一对傅里叶变换对，通过功率谱密度函数可以描述信号二阶统计量的数字特征。同样，对于循环平稳信号，其循环自相关函数与循环谱密度函数也是一对傅里叶变换对。根据维纳-辛钦关系，循环谱密度（CyclicSpectrumDensity，简写CSD）如式（4.2.17）所示。2()()jfxxSfRed（4.2.17）功率谱密度函数为了更加清楚的说明循环谱密度的特性，取信号模型0()()cos(2)xtatft其中，a(t)为零均值的平稳随机信号，满足条件2()0(/2)(/2)0()0(/2)(/2)00ttjttjttatatatateatate功率谱密度函数由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度为002011()()=0;441()()=2;40aajxaSffSffSfeSff其它功率谱密度函数给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示功率谱密度函数循环谱切片图功率谱密度函数循环谱密度函在频率域内的信息和循环频率域内的信息具有谱相关特性。对于调幅信号，载波信息在频率域内的值与其自身相等，而在循环频率域内的频率信息是其载波频率的2倍。而调制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。利用循环频率与频率之间的相关特性，用切片图可以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。第四章循环平稳信号分析4.1循环平稳信号的定义4.2信号的循环统计量4.3基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4循环平稳信号处理的工程应用4.3基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.3.1调频信号的解调分析4.3.2多载波调频信号的解调4.3.3多调制源调幅信号的解调4.3.4多载波调幅信号的解调4.3.5循环相关解调法识别信号有用信息和混频信息的规律4.3.1调频信号的解调分析)]2sin(2cos[)(tftfAtxnz4.3.2多载波调频信号的解调1020()cos(2sin(2))cos(2sin(2))ccxtftftftft多载波调频信号的解调4.3.3多调制源调幅信号的解调0102()1cos2cos2cos2cxtftftft4.3.4多载波调幅信号的解调0102()[1cos(2)]cos(2)[11.5cos(2)]cos(2)()ccxtftftftftnt多载波调幅信号的解调多载波调幅信号的解调4.3.5循环相关解调法识别信号有用信息和混频信息的规律(1)如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与该图片相对应的频率信息具有2倍的关系，并且切片图中相应的循环频率信息（或频率信息）表现为中心频率，其两边均有明显的调制边频带，则说明此循环频率（或频率）具有载波频率特征，循环频率是载波频率的2倍，并且图中所对应的边频带频率信息就是调制频率信息。(2)如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与该图片相对应的频率信息具有相等的关系，则说明此循环频率是单独的频率分量。在表示频率域信息的切片图中，一般情况下，可以清楚地看到此单独的频率信息，没有调制边频带出现。一般在表示循环频率域信息的切片图中，可以看到边频带现象，这是低频信号对高频信号所产生的混频效应。(3)如果循环频率高频段循环谱切片图的循环频率与该图片所反映的频率信息没有以上对应关系，则说明此循环频率是混频信息。第四章循环平稳信号分析4.1循环平稳信号的定义4.2信号的循环统计量4.3基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4循环平稳信号处理的工程应用4.4.1齿轮箱摩擦故障分析与诊断某空气分离压缩机组(简称空分机)结构简图高速轴转频213.00Hz，啮合频率为1倍=6815.75Hz，2倍=13631.5Hz，3倍=20447.25Hz齿轮箱摩擦故障分析与诊断齿轮箱摩擦故障分析与诊断齿轮箱摩擦故障分析与诊断维修办法：重新装配齿轮箱，保证止推夹板和大齿轮端面的平行。开机后振动明显降低，尖叫声消失。4.4.2滚动轴承损伤故障分析与诊断在某轴承实验台上测量滚动轴承振动加速度信号。滚动轴承型号为308