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第4章拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.6本章习题全解4.1求下列函数的拉普拉斯变换（注意：为变量，其它参数为常量）。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）解：（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）(15)(16)(17)(18)()(19)(20)(21)（22）（23）（24）4.2已知，求下列信号的拉普拉斯变换。（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）所以4.3已知信号的拉普拉斯变换如下，求其逆变换的初值和终值。（1）（2）（3）（4）解（1）初值：终值：（2）初值：终值：（3）初值：终值：（4）初值：终值：4.4求题图4.4所示信号的单边拉普拉斯变换。题图4.4解（1）所以根据微分性质所以注：该小题也可根据定义求解，可查看（5）小题（2）根据定义（3）根据（1）小题的结果再根据时移性质所以根据微分性质得（4）根据定义注：也可根据分部积分直接求取（5）根据单边拉氏变换的定义，本小题与（1）小题的结果一致。（6）根据单边拉氏变换的定义，在是，对比（3）小题，可得4.5已知为因果信号，，求下列信号的拉普拉斯变换。（1）（2）（3）（4）解：（1）根据尺度性质再根据s域平移性质（2）根据尺度性质根据s域微分性质根据时移性质（3）根据尺度性质再根据s域平移性质（4）根据时移性质再根据尺度性质本小题也可先尺度变化得到，再时移单位，得到结果4.6求下列函数的拉普拉斯逆变换。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）{}=（15）{}=（16）{}=（17）{}=（18）{}=（19）{}=（20）{}=（21）{}=（22）{}=(23){}=(24)()=4.7求如题图4.7所示的单边周期信号的拉普拉斯变换。题图4.7（1）矩形脉冲信号第一周期的时间信号为：则(2)第一个周期时间信号为则（3）第一个周期时间信号为：则(4)一个周期内：则4.8已知线性连续系统的单位冲激响应为。（1）若系统输入，求系统的零状态响应；（2）若，求系统输入。解：将系统的单位冲激响应作拉氏变换得系统函数（1）系统输入的拉氏变换为根据系统的S域分析，所以零状态响应的拉氏变换为，所以（2）根据系统的S域分析，所以输入的拉氏变换为求拉氏反变换得4.9已知系统微分方程为，求下列输入时的零状态响应。（1）；（2）；（2）。解：系统微分方程在零状态下两边做拉氏变换得整理得：（1）输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应（2）输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应（3）输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应4.10利用拉普拉斯变换求解下列系统的系统函数、零状态响应、零输入响应和全响应。（1）。（2）（3）；；（4）；，，，解：（1）将系统方程两边拉氏变换得：（2）将系统方程两边拉氏变换得：把代入上式，（3）系统函数：(4)4.11求下列微分方程描述的连续系统的零输入响应。（1）；（2）；（3）。解：（1）考虑输入，将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件，整理得，做拉氏反变换得零输入响应（2）考虑输入，将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件，整理得，做拉氏反变换得零输入响应（3）考虑输入，将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件，整理得，做拉氏反变换得零输入响应4.12已知连续系统的微分方程为，求在下列输入时的零输入响应、零状态响应和全响应。（1）；（2）；解：将系统方程两边拉氏变换得整理得即令状态，得零状态响应的拉氏变换为令，即，得零输入响应的拉氏变换为（1）输入的拉氏变换，和初始状态得对上式求拉氏反变换得，零状态响应零状态响应完全响应（2）输入的拉氏变换，和初始状态得对上式求拉氏反变换得，零状态响应零状态响应完全响应4.13已知线性连续系统的系统函数和输入信号，求系统的完全响应。（1）；（2）。解：根据系统得s域分析，系统的零状态响应的拉氏变换为（1）所以根据系统方程可得二阶系统特征方程的系数为1，4，3所以系统的零输入响应的拉氏变换为所以求拉氏反变换得系统的完全响应为（2）所以根据系统方程可得三阶系统特征方程的系数为1，3，2，0所以系统的零输入响应的拉氏变换为所以求拉氏反变换得系统的完全响应为4.14一线性系统，当输入为时，零状态响应为，求系统的单位冲激响应。解：输入的拉氏变换为，输出的拉氏变换为求反拉氏变换得系统的单位冲激响应4.15已知系统的阶跃响应为，为使其零状态响应为，求激励信号。解：4.16已知线性连续系统在相同的初始状态下，输入为时，完全响应为；输入为时，完全响应为；求在相同的初始状态下，输入为时系统的全响应。解：根据线性系统的s域分析可知，设系统函数为，零输入响应的拉氏变换为则有（1）（2）其中，，（3），（4）将（3）、（4）代入（1）、（2）联立解得，所以输入为时，系统的全响应为4.17已知系统函数，试求系统在下列信号激励时的稳态响应。（1）；（2）(1)系统函数：系统的极点分别是，位于平面的左半平面，所以可得系统的频率响应函数所以系统的正弦稳态响应为(2)系统函数：系统的极点分别是，位于平面的左半平面，所以可得系统的频率响应函数所以系统的正弦稳态响应为4.18已知系统函数的零、极点分布如题图4.18所示，单位冲激响应的初值。（1）求系统函数；（2）求系统的频率响应函数；（3）求系统的单位冲激响应；（4）求系统在激励下系统的正弦稳态响应。解：（1）根据题图可知，系统函数的极点为，，零点为根据系统函数的零极点，可写出零极点形式为利用初值定理得所以所以（2）系统的频率响应函数为（3）对求拉氏反变换得（4）所以，所以正弦稳态响应4.19已知下列各系统函数，画出零、极点图，求单位冲激响应，画出波形，并判断系统是否稳定。（1）；（2）；（3）；（4）解：(1)系统零极点图如下：该系统的所有极点都在左半开平面，所以系统稳定。(2)系统零级点图如下：该系统的所有极点都在左半开平面，所以系统稳定。(3)系统零极点图如下：该系统的所有极点都在左半开平面，所以系统稳定。(4)系统零极点图如下：该系统有一个极点位于虚轴上，所以系统不稳定。4.20线性系统如题图4.20所示，图中，，。（1）求系统的系统函数和单位冲激响应；（2）若输入，求系统的零状态响应。题图4.20解：（1），根据题图可知，求拉氏反变换得单位冲激响应（2），所以求拉氏反变换得系统的零状态响应4.21线性连续系统如题图4.21所示。（1）求系统函数；（2）为使系统稳定，求系数的取值范围；（3）在临界稳定状态下，求系统单位冲激响应。题图4.21解：根据题图的系统框图，可得出输入输出关系式整理得，根据劳斯判据准则，要使系统稳定必须满足，这里的分别表示分母的各项系数所以系统稳定得条件为，即（3）在临界稳定状态下，此时，所以求拉氏反变换得系统单位冲激响应4.22某连续系统的分母多项式为：，为使系统稳定，应满足什么条件？解：这是一个三阶系统，三阶系统稳定的充要条件是D(s)中全部系数非零，且同符号，而且还要求满足：所以根据题有：4.23检验以下多项式是否为霍尔维兹多项式。（1）；（2）；（3）；解：(1)根据罗斯－霍尔维兹别准，排出罗斯阵列如下：第一行144第二行360第三行240第四行000罗斯阵列排列至此，出现一行元素全为0。可把第3行的一行元素写为辅助多项式，将对求一阶导数，再将辅助多项式导数的系数4，4重新列在第4行，这样得到新的完整的罗斯阵列为第一行144第二行360第三行240第四行440第五行200罗斯阵列中第1列元素全大于0，所以是霍尔维兹多项式。（2）；根据罗斯－霍尔维兹别准，排出罗斯阵列如下：第一行1100第二行2540第三行00第四行40罗斯阵列中第1列元素全大于0，所以是霍尔维兹多项式。（3）；根据罗斯－霍尔维兹别准，排出罗斯阵列如下：第一行129第二行434第三行8第四行-22.6以上阵列的第一列元素不全为正，所以不是霍尔维兹多项式。4.24已知线性系统的系统函数如下，试判断各系统的稳定性。（1）（2）（3）解：（1）这是一个二阶系统，其系统（二阶重根系统除外）稳定的充要条件是：分母中全部系数不缺项且同符号，该题目中全部系数分别为1，5，4.不缺项且全为正，因此该系统稳定。（2）首先将的特征多项式排列罗斯阵列第一行1176第二行7170第三行60第四行00第五行600因为系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以H(s)对应的系统为稳定系统。（3）H(s)的分母多项式的系数，H(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H(s)对应的系统为不稳定系统。4.25已知因果信号的拉氏变换分别如下所示，试问的傅里叶变换是否存在？若存在，写出的表达式。（1）（2）（3）解：（1）极点：s1=-1+j,s2=-1-j因为系统所有极点都在左半开平面，所以系统稳定，X（jw）存在X（jw）=X(s)|s=jw=(2)极点：s1=0,s2=-1有一个极点在虚轴上，除了将中的以代换外，还要加一系列冲激函数(3)极点:s1=-4,s2=1,所有极点不是都在左半开半面，所以系统不稳定，X（jw）不存在。第5章连续时间信号的抽样与量化5.6本章习题全解5.1试证明时域抽样定理。证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：式中为原信号的频谱，为单位冲激序列的频谱。可知抽样后信号的频谱由以为周期进行周期延拓后再与相乘而得到，这意味着如果，抽样后的信号就包含了信号的全部信息。如果，即抽样间隔，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。因此必须要求满足，才能由完全恢复，这就证明了抽样定理。5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：（1）（2）（3）（4）解：抽样的最大间隔称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率称为奈奎斯特速率，最低采样频率称为奈奎斯特频率。（1），由此知，则，由抽样定理得：最低抽样频率，奈奎斯特间隔。（2）脉宽为400，由此可得，则，由抽样定理得最低抽样频率，奈奎斯特间隔。（3），该信号频谱的,该信号频谱的信号频谱的,则，由抽样定理得最低抽样频率，奈奎斯特间隔。（4）,该信号频谱的，该信号频谱的所以频谱的,则，由抽样定理得最低抽样频率，奈奎斯特间隔。5.3系统如题图5.3所示，，，，，。（1）为从中无失真地恢复，求最大采样间隔。（2）当时，画出的幅度谱。题图5.3解：（1）先求的频谱。由此知的频谱宽度为，且，则，抽样的最大允许间隔（2），所以为用冲激序列对连续时间信号为进行采样，设原输入信号的频谱密度为，而单位冲激序列的频谱密度为：其中则根据频域卷积定理得抽样信号的频谱为：而，则，幅度谱如下图所表示。5.4对信号进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。解：由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：其幅度频谱和相位频谱分别为单边非因果指数函数的波形、幅度谱、相位谱如下图所示，其中。单边指数信号的波形和频谱显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后的频谱是将原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓，幅度变为原来的而得到。图略。5.5题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的时域波形如何？以图解法说明。题图5.5解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。由此可知，脉宽为幅度为的三角形脉冲其频谱为。其波形如图所示。三角函数的频谱在中，易求得的频谱为：在处，为零，图略。由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：其中，。抽样后的频谱是将三角形频谱以