方波信号f(t)展开为傅里叶级数

图4.2方波信号的傅里叶级数0T2T2T2T－T1－1tf(t)例4―1试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。方波信号f(t)展开为傅里叶级数22020202022()cos(2)22(1)cos(2)1cos(2)2121[sin(2)][sin(2)]220TTnTTTTaftnftdtTnftdtnftdtTTnftnftTnfTnf解我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,并按式(4―7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,bn及c。22020202022()sin(2)22(1)sin(2)1sin(2)2121[cos(2)][cos(2)]222(1)TTnTTTTbftnftdtTnftdtnftdtTTnftnftTnftTnfnn0,2,4,6,41,3,5,nnn222()04111()[sin2sin6sin10sin2]351,3,5,TTcftdtTftftftfftnn例3.3-1),306cos(8.0)453cos(4.0)202cos(2)10cos(31)(tttttf试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分别为二、三、六次谐波频率。且有振幅谱和相位谱例题8.04.063AA304563其余0nA2321AA120A20100211图3.3-1例3.3-1(a)振幅谱；(b)相位谱Ano23456(a)321no23456(b)15°30°45°10°20°45°30°320.40.8图3.3-2例3.3-1信号的(a)振幅谱；(b)相位谱|Fn|o23456(a)121.510.20.41.510.20.43－4－5－6－no2345615°30°45°10°20°45°30°－15°－30°－45°－10°－20°－45°－30°－2－3－4－5－6－－2－(b)例3.4-2求指数函数f(t)的频谱函数。0)(atetf00tt)0(图3.4-2单边指数函数e-αt(a)单边指数函数e-αt;(b)e-αt的幅度谱F()(b)ot1(a)o1f(t)e－t(＞0)单边指数函数f(t)的频谱函数ajtjtjttjeajjedteedtetfjFarctan220)(11)()()(其振幅频谱及相位频谱分别为arctan)(1)(22F解()(),0()()10atjtatjtfteutaFftedteedtj(4―41)(4―40)单边指数信号的频谱例4―4求单边指数信号的频谱。解单边指数信号是指图4.7单边指数信号及其频谱0－0－(a)(b)argF())(F121244－2－例3.4-3求图3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。偶对称双边指数函数的频谱函数图3.4-3(a)双边指数函数；(b)频谱F(j)(b)ot1(a)o2e－tet＞0)f(t)()(),0tfteut(4―42)从频谱函数的定义式出发002211()2atjtatjtFeedteedtjj(4―43)例4―5求双边指数信号的频谱。解双边指数信号是指偶对称双边指数信号的频谱图4.8双边指数信号及其频谱00－1tf(t)(a)(b)12)(F例3.4-4求图3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。图3.4-4例3.4-4(a)信号f(t);(b)频谱X()(b)o1of(t)t1(a)e－t－et＞0)－11－奇对称双边指数函数的频谱函数atateetf)(00tt(a0)解图示信号f(t)可表示为2200211)(ajjjdteedteejFtjttjat例3.4-1图3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为τ，高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。解门函数gτ(t)可表示为门函数的频谱函数图3.4-1(a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d)相位谱F(j)242－4－(b)og(t)tτ2τ2－1(a)F()24(c)2－4－o()24(d)2－4－o－o图4.6矩形脉冲信号及其频谱0tg(t)(a)1/2－/202/－2/(b)F()矩形脉冲信号gτ(t)的频谱例4―3求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。12()02rtgtt(4―36)gτ(t)的傅里叶变换为22sin(/2)[()]/2sin()()[()]()2jtrrgtedtxSaxxgtSa(4―37)(4―38)(4―39)解矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所示的门函数。其定义为例3.4-5求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。图3.4-5信号δ(t)(a)单位冲激信号δ(t);(b)δ(t)的频谱F(j)of(t)t(a)o1(b)(t)δ(t)的频谱函数解1)()(dtetjFtjdetftj121)(可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号δ(t)实际上是无法实现的。根据分配函数关于δ(t)的定义，有()()1()1jtFtedtt(4―34)(4―35)冲激信号δ(t)的频谱例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。解由频谱函数的定义式有图4.5冲激信号及其频谱0t(t)(1)0F()1(a)(b)0000[()]1()jtjtttette(4―75)移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。解由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。例3.4-6求直流信号1的频谱函数。图3.4-6直流信号f(t)(a)直流信号f(t);(b)频谱o(a)o1(b)2()f(t)F(j)直流信号1的频谱函数解直流信号1可表示为1)(tftdtejFtj1)(0220001lim(),02[1][lim()]lim[()]lim000ttteutaeuteuta(4―45)(4―46)例4―6求单位直流信号的频谱。解幅度为1的单位直流信号可表示为f(t)=1,-∞t∞(4―44)它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个特例,即单位直流信号的频谱22002022limlim()1()lim2arctan2[1]2()12()dd(4―47)(4―48)(4―49)图4.9单位直流信号及其频谱0f(t)10tF()2(a)(b)例3.4-7求符号函数Sgn(t)的频谱函数。11)(tSgn00tt考察例3.4-4所示信号f(t)atateetf)(00tt)0(符号函数Sgn(t)的频谱函数当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。例3.4-4所示信号的频谱函数为，从而有222j图3.4-7符号函数Sgn(t)(a)Sgn(t)的波形；(b)频谱X()to(b)oSgn(t)(a)1－110sgn()0010tttt(4―50)符号函数的频谱例4―7求符号函数的频谱。解符号函数简记为sgn(t),它的定义为图4.10符号函数及其频谱f(t)01－1t0F()(a)(b)0()0ttetftet(其中α0)22220[()]112202lim002[sgn()]tjttjtFfteedteedtjjjjjFtj(4-51)符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一个特例:例3.4-8求阶跃函数ε(t)的频谱函数。由阶跃函数ε(t)的波形容易得到解)(2121)(tSgnt从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数，即阶跃函数ε(t)的频谱函数图3.4-8(a)ε(t)的波形；(b)频谱to(t)(a)1R()o(b)()X()1－1－例3.5-1求图3.5-1(a)所示信号的频谱函数。图3.5-1例3.5-1(a)f(t)的波形；(b)相位谱to(a)1()o(b)－244－2－2－f(t)门(平移后)信号的频谱函数解()()2rgtSa1[(2)]()24rgtSa例4―11已知求gτ(2t)的频谱函数解根据傅里叶变换的尺度变换性质,gτ(2t)的频谱函数为尺度变换求频谱图4.13尺度变换0tf(t)0F()10)2(21Fπ2π2π4π4220tf(2t)144图4.11单边指数信号及其频谱0tf(t)0tfe(t)t01－1(a)(b)(c)21fo(t)例4―9利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信号f(t)=2e-αtu(t)的频谱。利用奇偶虚实性求频谱()0()0teatoatfteetftet解从波形图（a）上可见,单边指数信号f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）,（c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。f(t)=2e-αtu(t)=fe(t)+fo(t)其中0()()2200()()2202222222()112()22()()()2()2tjtjtjtejtjtoeoFeeedtedtFedtedtjjjFFFjjj例3.5-2求高频脉冲信号f(t)(图3.5-2(a))的频谱。图3.5-2(a)f(t)的波形；(b)频谱F(j)(b)toτ21τ2－(a)－1oτ2－00f(t)高频脉冲信号f(t)的频谱解图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数gτ(t)与cosω0t相乘，即000cos2jtjteet例4―13求高频脉冲信号p(t)=gτ(t)·cosω0t的频谱函数解由于高频脉冲信号的频谱函数故有0000000[()][()cos][()]211[()][()]221()1()[()][][]2222rjtjtrjtjtrrFptFgtteeFgtFgteFgteFptSaSa