信号与系统 拉普拉斯变换

1第四章拉普拉斯变换u2•优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。•缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。3本章内容及学习方法本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。4一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换ttfFFe)(1ttfttdee)(j:,)(e),(依傅氏变换定义绝对可积条件后容易满足为任意实数乘以衰减因子信号ttf称为复频率。具有频率的量纲令,,j:s)j(FttfsFtsde则1．拉普拉斯正变换ttftde)()j(52．拉氏逆变换deπ21ejttjFtfdejπ21jtFtfjj::s对积分限：对je的傅里叶逆变换是对于Ftftte以两边同乘jdd;j:ss则取常数，若其中jjdejπ21ssFtftsttfsFttfFtstdedejj所以63．拉氏变换对jj1dejπ21deσσtstsssFtfLtfttftfLsF逆变换正变换sFtf:记作称为象函数。称为原函数，sFtf7二．拉氏变换的收敛00e)(limσσtftσt收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；Oσωj0σ收敛坐标收敛轴收敛区8u0部分s平面收敛的情况：9u100011例4时限信号的拉氏变换(如门信号)。,1)(11seedtesFssstb整个s平面收敛的情况：这里只要不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个s平面。00例5下列信号的拉氏变换：，故在整个s平面都不收敛。且整个s平面都不收敛的情况：12uuuuuu:13)(sF)(sF)(sF)(sF14起因信号：考虑到实际信号都是有,0相应的单边拉氏变换为系统采用jj10dejπ21deσσtstsssFtfLtfttftfLsFttfωFtωdej0所以一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。15三．一些常用函数的拉氏变换0de1)(ttuLst1.阶跃函数2.指数函数0deeetLsttαtαssst1e100esαtsαsα1ασ全s域平面收敛1de0tttLst0ede000ststtttttL3.单位冲激信号164．tnu(t)0detttLst201e11sssst0detttLstnn01dettsnstn0de1stts00dee1ttsstst2n3222122ssstLstL3n43236233ssstLstL1nntLsntL0estnst01dettsnstn1!nnsntL1n所以所以175.复指数函数00000()01(),0()ststsstFseedtssess0000,stesj184.3拉氏变换的基本性质u19uuuuuu20“周期信号”的拉氏变换)()(11sFtfLT)()(11sFenTtfsnTLTsTnsnTLTnesFesFnTtf1)()()(1010第一周期的拉氏变换时移特性无穷级数求和21时移特性例题22211111ssssssF。求＝已知)(,4πcos2)(sFtuttf1111tututLttuLsF【例1】sFttutf求,1已知【例2】tttttfsincos4πsinsin24πcoscos2ssse11222用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换000se)(de)()()(nnsTstnTftnTtnTftfL域的级数。拉氏变换可表示为抽样信号的s则例如),(e)(tutftα0see)(nsnTnTαtfLTsαe112324复频移特性举例2020)(cos:ωsstutωL已知2020)(coseωαsαstutωt所以20200)(sine:ωαsωtutωt同理的拉氏变换求tωtα0cose2526例：)(2)(6)(5)(tftytyty两边取拉氏变换：)(2)(6)]0()([5)0()0()(2sFsYyssYysysYs整理得：65)0()0()5(65)(2)(22ssyyssssFsY27电感元件的s域模型)()(),()(sVtvLsItiLLLLLttiLtvLLd)(d)()0()()0()()(LLLLLLisIsLissILsV)(tiL)(tvLLsILLs0LLisVL电感元件的s模型应用原函数微分性质设28sfssFdfLTt)0()()()1(29电容元件的s域模型)()(),()(sVtvLsItiLCCCC设tcCiCtvd)(1)(sissICsVCCC)0()(1)()1()0(d)(1)0(10)1(CCCviCiC)0(1)(1CCvssIsCtiCtvCCsC101CvssICsVC电容元件的s模型30313233)(lim)0()(lim),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst则可以进行拉氏变换，且及若初值定理应化为真分式：不是真分式若,sFksFsF)()(1)(lim)(lim)(lim)0(0tfksssFksFsftss项。中有中有常数项，说明tδtfsF34终值存在的条件:，则的拉氏变换存在，若设)()(d)(d),(sFtfLttftf)(lim)(lim0ssFtfst上无极点。原点除外轴在右半平面和)(jωssFtttffssFstded)(d0)(0tttffssFstssded)(dlim0)(lim0000)(lim0ftfft证明：根据初值定理证明时得到的公式)(limtft终值定理35初值定理举例即单位阶跃信号的初始值为1。?)0(,1)(:fssF求已知1)(lim)(lim)0(0ssFtffst例2?)0(,12)(fsssF求21212ssssF因为sssksssFfss2122lim)(lim)0(所以2112lim12limsssss2)0(f所以项中有ttf2例1364.4拉普拉斯逆变换•由象函数求原函数的三种方法•部分分式法求拉氏逆变换•两种特殊情况37F(s)的一般形式01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmmai,bi为实数，m,n为正整数。,为有理真分式当sFnm:式具有如下的有理分式形通常sF)())(()())(()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF分解零点极点0)(0)(sFsA因为的零点称为的根是sFsAzzzzm,0,,321的极点称为的根是sFsBppppn,0,,321)(0)(sFsB因为38拉氏逆变换的过程的极点找出sF展成部分分式将sFtf查拉氏变换表求39部分分式展开法(mn)1.第一种情况：单阶实数极点,,321为不同的实数根npppp)())(()()(21npspspssAsFnnpskpskpsksF2211)(展开为部分分式即可将求出sFkkkkn,,,3212.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在40第一种情况：单阶实数极点(1)找极点)3)(2)(1(3322ssssssF(2)展成部分分式321321sksksksF362511)(ssssF所以6116332)(232ssssssF1eαstuLt根据0e6e5e)(:32ttfttt得(3)逆变换求系数41如何求系数k1,k2,k3``````？11k所以1,1ss且令对等式两边同乘以11321321)1(kskskskss右边1)()1(ssFs左边1)3)(2)(1(332)1(12sssssss,5)()2(:22ssFsk同理6)()3(33ssFsk362511)(ssssF所以42第二种情况：极点为共轭复数22βαssDsAsFβαsβαssFjj1共轭极点出现在βαj......jj21βαsKβαsKsFβαssFβαsKjj1ββαFj2j1βαssFβαsKjj2ββαFj2j2成共轭关系：可见21,KKBAKj1*12jKBAK43求f(t)BAKj1*12jKBAKβαsKβαsKLtfjj211CtβtβtαKKeee*11tBtAtαsincose244例题。的逆变换求)()52)(2(3)(22tfsssssF)2)(2j1)(2j1(32sssssF2j12j12210sKsKsK02,,1取57)2(20ssFsK52j1)2j1)(2(32j121ssssK52,51BA02sin522cos51e2e572ttttftt4522sssFF(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法2222ssssF0sinecosettβαttftt求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法222)(cose)(sine