周期信号的频谱

卷积练习信号f1(t)和f2(t)的波形如图所示，设f(t)=f1(t)*f2(t),则f(0)等于()。3.3周期信号的频谱3.3周期信号的频谱•3.3.1周期信号频谱的特点•3.3.2双边频谱与信号的带宽•3.3.3周期信号的功率3.3.1周期信号频谱的特点•周期信号的两种展开式：均为的复函数，nnA、1n)cos()(110nnntnAAtfnnAF21tjnnneFtf1)(njneA21njneF分别组成f(t)的第n次谐波分量的振幅和相位。频谱图相位频谱振幅频谱以振幅为纵坐标所画出的谱线图以相位为纵坐标所得到的谱线图以ω为横坐标3.3.1周期信号频谱的特点•试画振幅谱和相位谱111411()[cos()cos(3)cos(5)]23252Aftttt矩形波可知，其基波频率，1分别有一、三、五……奇次谐波分量其余0nA，AA41，00A，0021－，343AA23－3.3.1周期信号频谱的特点•振幅频谱n0n021131517•相位频谱3.3.1周期信号频谱的特点•例),306cos(8.0)453cos(4.0)202cos(2)10cos(31)(tttttf试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解：f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据110)cos()(nnntnAAtf可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分别为二、三、六次谐波频率。4.03A453其余0nA31A10A00),306cos(8.0)453cos(4.0)202cos(2)10cos(31)(tttttf10120222A8.06A3063.2.2双边频谱与信号的带宽•双边频谱nnAF21nnFFnn振幅谱相位谱3.3.2双边频谱与信号的带宽•周期矩形脉冲信号0)(Atf22,222TttTt当当otT2T2TT2－τ2τ2－－TAf(t)tjnnennTAtf111122sin)(3.3.2双边频谱与信号的带宽•复系数221)(1TTdtetfTFtjnn2211dtAeTtjn]22sin[11nnTA)(122111jnjneejnTA)2sin(211nTnA)2na(1STA3.2.2双边频谱与信号的带宽•取样函数定义为：xxxSasin)(•偶函数•且x→0时，Sa(x)=1•当x=kπ时，Sa(kπ)=0•看成振幅为的正弦函数，振幅衰减的正弦振荡x12)(0dxxSadxxSa)(Sa(x)23－－2－3x1o3.3.2双边频谱与信号的带宽•因此：21nSaTAFn可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的连线所构成的包络是的形式。)(xSa3.3.2双边频谱与信号的带宽•画周期矩形脉冲的频谱1.找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）包络线方程为与横轴的交点由下式决定：kn21kn2121nSaTAFn1n离散自变量)3,2,1(k6,4,23.3.2双边频谱与信号的带宽2.确定各谐波分量的幅度当21nSaTAFn021n01n即为最大值nFTA：基波分量的幅度：二次谐波分量的幅度：21SaTA221SaTA3.3.2双边频谱与信号的带宽3.相位的确定njnneFF0nF当时：0nF当时：)sin(cosnnnjF21nSaTAFn是的实函数1nnnFcos0sin0cosnn0n0sin0cosnnn3.3.2双边频谱与信号的带宽•周期矩形脉冲的频谱nF11n0n11n0是的偶函数1nnF是的奇函数1nnn3.3.2双边频谱与信号的带宽•周期信号频谱的特点：离散性：收敛性：谐波性：由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线间的距离为T21每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。111各次谐波分量的振幅虽然随的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的增大而逐渐减小。当→∞时，|Fn|→0。1n1n1n3.3.2双边频谱与信号的带宽•T相同，不同τ值时周期矩形信号的频谱2T4T3.3.2双边频谱与信号的带宽•T不变，1不变：即谱线的疏密不变若：则收敛速度变慢，nF幅度减小，包络零点间隔增大。•不变：即谱线的变密，包络零点间隔不变。1T若：幅度减小，•当时：T谱线无限密集，幅度趋于无穷小，周期信号趋于非周期信号。信号的频带宽度与信号的持续时间成反比3.3.2双边频谱与信号的带宽•周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，即：周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。实际工作中，要求传输系统将信号中的主要频率分量传输过去周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，因而，常常将这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为2~0)/(2sradB或)(1HzBf)/(2srad)(1Hzf3.3.2双边频谱与信号的带宽•对于单调衰减的信号：把零频率到谐波幅度降到最大值十分之一的那个频率间频带，称为信号的带宽1011f)(1Hzff3.3.3周期信号的功率•周期信号的能量是无限的，平均功率有界，属于功率信号。dttfTPTT)(1222ntjnneFtf1)(将f(t)表示成傅里叶级数并代入上式可得：nnFP202202nnFF3.3.3周期信号的功率•例：试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。22TAtT)(tfT3.3.3周期信号的功率•解：周期矩形脉冲的傅立叶复系数为：2)2sin()2(111nnTAnSaTAFn＝将A=1，T=1/4，=1/20，代入：)5/(Sa2.0)40/(Sa2.01nnFn信号的平均功率为：2.0)(12/2/2TTdttfTP3.3.3周期信号的功率包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：41=n20244=n201|)(|2)0(|)(|nFFnFP—%90200.01806.01PP)/(2~0srad有效带宽为：)/(40~0srad8132,24,16,8在带宽范围内有基波、二次、三次、四次谐波分量：2nF0n84040251周期信号的功率谱小结•单边频谱与双边频谱的意义•傅立叶级数展开对周期信号频谱分析的意义•正、余弦级数展开对应单边频谱•复指数级数展开对应双边频谱)sincos(1110tnbtnaannntbtbtbtatataatf13121113121103sin2sinsin3cos2coscos)(011()cos()nnnftAAnt•傅立叶系数TttdttfTa00)(10TttntdtntfTa001cos)(2tdtntfTbTttn001sin)(2直流系数余弦分量系数正弦分量系数可取t0=0，t0=－T/2221)(1TTdtetfTFtjnntjnnneFtf1)(则：•傅立叶系数•例求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶级数表示式nTnTtt)()(n=0,1,2,….0T2T-T-2T3Tt-3TδT(t)2122121()1()1TTTTjntnjntFftedtTtedtTT系数：1111()1()1jntnnjntjntTnnnjntnftFetFeeTeT则：12T