信号与系统之传输算子

•输入-输出模型是系统的一种外部描述，凡是能从外部端口通过测量得到的描述就是一种外部描述。•（系统的微分算子方程和传输算子）•什么是内部描述？内部描述有能力提供在系统中全部可能出现的信号的完整信息，外部描述不能给出系统的完整信息。•（状态空间方程）1.系统的内部和外部描述—系统模型系统的微分算子方程与传输算子引入如下算子：微分算子:tpdd积分算子:tpp1d)(1则：)()(dd)(tfptfttf)()(dd)()(tfptfttfnnnn)()(1d)(1tfptfpft对于微分方程)(4d)(d)(6d)(d5d)(d22tfttftyttytty算子形式)(4)()(6)(5)(2tftfptytyptyp微分算子方程：)()4()()65(2tfptypp微分方程的一种表示，含义是在等式两边分别对变量y(t)和f(t)进行相应的微分运算。形式上是代数方程的表示方法。可用来在时域中建立与变换域相一致的分析方法。微分算子的运算性质：性质1以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。2(56)()(2)(3)()ppytppyt性质2设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则)()()()()()(tfpApBtfpBpA(3)(2)()(2)(3)()ppytppyt性质3微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。如：py(t)=pf(t)y(t)=f(t)+c(c为常数)y(t)=f(t))()()()()()()()(tfpBpAtfpBpDpApD)()()()()()()()(tfpBpAtfpDpBpDpA)(d)(dd)(1tffttfppt)()()(d)(dd)(1tfftfftfppt例：函数乘、除算子p的顺序不能随意颠倒，对函数进行“先除后乘”算子p的运算时，分式的分子与分母中公共p算子(或p算式)才允许消去。性质4设A(p)、B(p)和D(p)都是p的正幂多项式系统模型：输入-输出描述依据输入和输出端测量值的系统描述称为输入-输出描述。分析任何系统的第一步是构建一个系统模型，它应该是能满意地逼近这个系统动态行为的一种数学表达式。本章只讨论连续时间系统。系统H(.)y(t)x(t)y(t)=H(x(t))电气系统电路元件伏安关系(VAR)的微分算子形式称为算子模型，电压、电流比为算子感抗和算子容抗元件名称电路符号u~i关系(VAR)VAR的算子形式算子模型电阻u(t)=Ri(t)u(t)=Ri(t)电感电容电路元件的算子模型i(t)R)(tui(t)R)(tui(t)L)(tu)(tui(t)1/pC)(tui(t)Ci(t)pL)(tuttiLtud)(d)(tdiCtu)(1)()(1)(tipCtu()()utitpL例1：电路如图(a)所示，激励为f(t)，响应为i2(t)。试列写其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+f(t)-i1513pi22p4p(b)回路1回路2画出其算子模型电路如图(b)所示。由回路法可列出方程为：0)()5431()(31)()(31)()3121(2121tipptiptftiptipp232()1/3()()81472itHpftpppH(p)代表了系统将激励转变为响应的作用，或系统对输入的传输作用，故将H(p)称为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子2321/3()()81472itftppp11101110()()()mmmmnnnbpbpbpbNpHppapapaDp练习题册2-1，2-3（3）2.LTI连续系统的响应特性LTI系统全响应可作如下分解：1、y(t)=自由响应+强制响应；2、y(t)=瞬态响应+稳态响应；3、y(t)=零输入响应yx(t)+零状态响应yf(t)输入u(t)=0时的系统响应，是系统内部条件（如能量存储，初始条件）单独作用的结果，与f(t)无关。当系统在零状态（意味着系统内部能量存储不存在，所有初始条件都为0时系统对f(t)产生的响应。求零状态响应yf(t)（1）求单位冲激响应h(t)（2）求dthf)()(卷积积分卷积的运算规律卷积的主要性质系统全响应的求解方法：求零输入响应yX(t))()()(xtytytyf一、系统初始条件LTI系统在激励作用下，全响应y(t)及其各阶导数在t=0处可能发生跳变或出现冲激信号，因此需要考察初始观测点前一瞬间t=0-和后一瞬间t=0+时情况y(0-)=yx(0-)+yf(0-)y(0+)=yx(0+)+yf(0+)对于因果系统：yf(0-)=0；对于时不变系统：yx(0+)=yx(0-)；y(0-)=yx(0-)=yx(0+)；y(0+)=y(0-)+yf(0+)y(j)(0-)=y(j)x(0-)=y(j)x(0+)；y(j)(0+)=y(j)(0-)+y(j)f(0+)二、通过系统微分算子方程求零输入响应零输入下LTI连续系统的微分算子方程为:0,0)()(x0111ttyapapapnnn要使上式成立，需满足D(p)=0（特征方程）针对特征根两种情况来求yx(t)1．特征根为n个单根p1,p2,…,pn(可为实根、虚根或复根)12x12()eee,0nnptptptytAAAt将yx(0-)、yx’(0-)、…、yx(n-1)(0-)代入上式，确定积分常数A1、A2、…、An。(举n=2为例)共轭复根或虚根时，可用欧拉公式化简为三角实函数形式12e(cossin)tAtAt2．特征根含有重根设特征根p1为r重根，其余特征根为单根，,,,,21nrrppp则yx(t)的通解表达式为:(举r=2为例)11x121123()ee,0()rnrrrnptptptytAAAtAttAteA将yx(0-)、yx'(0-)、…、yx(n-1)(0-)代入上式，确定积分常数A1、A2、…、An。例2电路如图(a)所示，已知uC(0-)=1V，iL(0-)=-1A，求t≥0时的零输入响应uCx(t)。1H12FCuCi21R42RLiCuCi24LiP2P1解(1)画出算子模型电路,由节点电流法可列出方程为:0)()41212(tuPPcx化简可得:0)()65(x2tuppC由D(p)=0，解得特征根:p1=-2，p2=-323x12()ee,0CttutAAt23x12()2e3e,0CttutAAtRiRiuCx(t),V0t,s41-30.51V1A124(2)0-瞬时的等效电路sV1)0(1)0(21)1(21)0(xxxCCCiC'ui343211212121AAAAAA23x()43V,0.Cttuteetx(0)Ci代入初始条件23x12()ee,0CttutAAt23x12()2e3e,0CttutAAt总结：求解零输入响应yx(t)的基本步骤：(2)通过微分算子方程得D(p)求系统的特征根;(3)写出yx(t)的通解表达式;(4)由系统的0-状态值与0-瞬时的零输入系统求得初始条件yx(j)(0-),j=0,1,2,…,n-1。(5)将0-初始条件代入yx(t)的通解表达式,求得积分常数A1,A2,…,An。(6)写出所得的解yx(t)，画出yx(t)的波形。(1)建立系统微分算子方程LTI连续系统的零状态响应一、零状态响应零状态LTI连续系统H(p))(tf)(tyf)()()()()()(tfpDpNtfpHtyf)()()()()(非齐次微分方程tfpNtypDf非齐次微分方程的解由通解和特解组成，f(t)形式简单特解还易确定，如形式复杂，则特解很难确定。一般情况下零状态响应可通过将f(t)分解为更为简单的单元信号，将各单元激励下的响应进行叠加来求解。(举例说明)信号的时域分解：230t)(tf将f(t)分解为无穷多个宽度为的矩形脉冲信号之和fa(t)])1([)()[()]3()2()[2()]2()()[()]()()[0()(ntntnfttfttfttftfa]})1([)({)()(0ntntnftfnna]})1([)({)()(0ntntnftfnnadtftdftftfa)()()()()()(000lim任意信号可分解为无穷多个不同时刻出现的冲激强度为该时刻函数值的冲激信号之和dtftf)()()(0零状态响应的求解过程dthftyf)()()(零状态LTI)(t)(th冲激响应零状态LTI)(t)(th时不变性零状态LTI)()(tf)()(thf齐次性由上述过程可看出求解零状态响应可通过下列两步完成：（1）求单位冲激响应h(t)（2）求dthf)()(卷积积分零状态LTIdtftf)()()(叠加性二、冲激响应h(t)h(t)定义：零状态LTIH(p))(t)(th)()()()()()()(01110111tapapapbpbpbpbtpDpNtpHthnnnmmmm通过多项式的长除法，H(p)可以化为某个多项式与一个有理真分式之和。233)22(2379972)(222234ppppppppppppH例1：依据D(p)根的不同，有理真分式H(p)可展开为不同的部分分式)())(()()()()(21npppppppNpDpNpHnnjjppKppKppKppK2211njpHppKjppjj,,2,1,)()()()()()()(2211tppKtppKtppKtppKthnnjj),()(tppKthjjj令第j项为)()()(tKthppjjj)()()(tKthpdttdhjjjj（一阶微分方程）1．当D(p)有n个单特征根p1,p2,…,pn(可为实根、虚根或复根)()()()jjjptptptjjjjdhtephteKtedt[()]()jjptptjjdhteKtedt[()]()jjttppjjdhedKeddt()()jpttjjhteKt()()()()jjptpjjjhteheKt()()0,()()jjpptjjjhehtKet冲激响应h(t)为)(e)(e)(e)(2121tKtKtKthtpntptpn2．当D(p)特征根有重根时：设p1为r重根，其余(n-r)个为单根pj(j=r+1,r+2,…,n)，则有理真分式H(p)可展开为：)()()()()()()(11nrrpppppppNpDpNpHnnrrrrrppKppKppKppKppK11111112111)()(1)()(111pppHppKr1)]()[(dd112pppHpppKr1(1)11(1)d1[()()](1)!drrrrppKppHprp与重根相关