数字信号处理习题及答案

==============================绪论==============================1.A/D8bit5V000000000V0000000120mV0000001040mV0001110129mV==================第一章时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n2)2δ(n1)δ(n2δ(n)1)δ(nx(n)②用(n)表示y(n)={2,7,19,28,29,15}2.①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(nnnnn②判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。（1）A是常数8ππn73Acosx(n)（2）)81(je)(nnx解：（1）因为ω=73π,所以314π2,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。（2）因为ω=81,所以π2=16π,这是无理数，因此是非周期序列。③序列)Acos(nwx(n)0是周期序列的条件是是有理数2π/w0。3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2}。移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n0n3，h(n)其他03n0n/2设x(n)例、}23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)②已知x(n)={1,2,4,3},h(n)={2,3,5},求y(n)=x(n)*h(n)x(m)={1,2,4,3},h(m)={2,3,5}，则h(-m)={5,3,2}(Step1:翻转)解得y(n)={2,7,19,28,29,15}③(n)x*(n)x3)，求x(n)u(nu(n)x2),2δ(n1)3δ(nδ(n)2、已知x2121}{1,4,6,5,2答案：x(n)4.如果输入信号为，求下述系统的输出信号。解：首先写出输入信号的取样值(a)该系统叫做恒等系统。5.①设某系统用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n)。若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。得x(n)1)ax(n0及差分方程y(n)1)解：由初始条件y()()()(,时)2()1()2(,时2)1()0()1(时11)0()1()0(,时02nuanyanynnaδayynaδay，ynδayynnn若初始条件改为y(-1)=1，求y(n))()1()(方程，1)1(初始条件nxnaxnyy)()1()()1()(,时)1()2()1()2(,时2)1()1()0()1(,时11)0()1()0(,时02nuaanyaanynnaaδayynaaδayynaδayynnn②设差分方程如下，求输出序列y(n)。0n0,y(n)δ(n),x(n)，x(n)1)ay(ny(n)))()(()1(解：1nδnyany0,)())1()1(()2(,时1))0()0(()1(,时00))1()1(()0(,时121111nanyaδyaynaδyaynδyaynn③设LTI系统由下面差分方程描述：1)x(n21x(n)1)y(n21y(n)。设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。解：令x(n)=δ(n),则1)δ(n21δ(n)1)h(n21h(n)n=0时，11)δ(21δ(0)1)h(21h(0)n=1时，12121δ(0)21δ(1)h(0)21h(1)n=2时，21h(1)21h(2)n=3时，221h(2)21h(3)所以，δ(n)1)u(n21h(n)1n6.离散时间系统。请用基本组件，以框图的形式表示该系统。解：7.①①判断下列系统是线性还是非线性系统。解：（a）系统为线性系统。（b）系统为线性系统。（c）系统是非线性的。（d）系统没有通过线性性检验。•系统没有通过线性性检验的原因并不是因为系统是非线性的(实际上，系统的输入输出表达式是线性的)，而是因为有个常数B。因此，输出不仅取决于输入还取决于常数B。所以，当时B≠0，系统不是松驰的，如果B=0，则系统是松驰的，也满足线性检验。（e）系统是非线性的。②证明是线性系统。证：②证明y(n)=nx(n)系统是移变系统。证：③①判断下述系统是因果的还是非因果的。②下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?(D)A.δ(n)B.h(n)=u(n)C.h(n)=u(n)-u(n-1)D.h(n)=u(n)-u(n+1)④⑤以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。1)nu(0.34)(2)（1）δ(nn答案（1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定。⑥判断题：一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h(n)是因果序列。（错）8.①考虑下面特殊的有限时宽序列。把序列分解成冲激序列加权和的形式。解：②将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示。31kk)x(k)δ(n3)x(3)δ(n2)x(2)δ(n1)x(1)δ(nx(0)δ(n)1)1)δ(nx(x(n)③若其他0402)(nnxn用单位序列及其移位加权和表示x(n)=)4(16)3(8)2(4)1(2)(nnnnn。9.①一个LTI系统的单位冲激响应和输入信号分别为求系统对输入的响应。②一个松弛线性时不变系统。求系统对于x(n)的响应y(n)。解：用式中的卷积公式来求解③一个线性时不变系统的冲激响应为。请确定该系统的单位阶跃响应。解：④设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况，分别求输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}（2）{2，2，0，0，-2，-2}⑤设系统的单位脉冲响应h(n)=u(n),，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性10.①考虑一个LTI，该系统的冲激响应为，确定a的取值范围，使得系统稳定。解：首先，系统是因果的因此，系统稳定的条件是|a|1。否则，系统是不稳定。实际上，h(n)必须随n趋于无穷呈指数衰减到0，系统才是稳定的。②考虑冲激响应为的线性时不变系统，若该系统稳定，则a和b的取值范围为多少?解：显然系统是非因果的，所以，系统稳定的条件是|a|1且|b|1。11.将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：直接代入公式有12.数字信号是指___时间幅度都离散的_______的信号。判断：数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。(对)判断：单位阶跃序列与矩形序列的关系是u(n)N)u(n(n)RN。（错）判断：因果系统一定是稳定系统。(错)判断：如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。（对）判断：所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的系统。（对）判断：差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性。(错。差分方程本身不能确定该系统的因果和稳定性，还需要用初始条件进行限制。)判断：若连续信号属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T、截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号。(错。角频率Ωs≥2Ωc)设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（当n0时，h(n)=0）=======================第二章z变换与DTFT=======================1.①设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。)2/sin()2/sin(e)ee(e)ee(ee1e1ee)()e(解：2/)1(j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjNnRXNNNNNnNnnnN当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图所示：②序列2)δ(nx(n)的傅里叶变换为2je。③设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=δ(n)+2δ(n－2)。完成下面各题：(1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。2)u(n2au(n)a2)]δ(n[δ(n)u(n)ax(n)h(n)解：（1）y(n)2nnn（2）j2ωnjωnjω2e12)]e2δ(n[δ(n))X(ejω0njωnnnjωnnjωae11eau(n)ea)H(ejωj2ωjωjωjωae12e1)X(e)H(e)Y(e④n))的傅里叶反变换x(。求X(eπ|ω|ω0,ω|ω|1,)1、已知X(ejw00jωπnnsinωdωe2π1解：x(n)0ωωjωn002.sin(πk/8)sin(πk/2)e)e(ee)e(eee1e1(n)ex(k)X解：k83πjk8πjk8πjk8πjk2πjk2πjk2πjk4πjjkπ70nkn82πj~~3.①②4.①x(n)=u(n),求其Z变换。解：当|z|1时X(z)存在，因此收敛域为|z|1②x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。（有限长序列）解：收敛域为：0|z|≤∞③求序列)()(nuanxn的Z变换及收敛域。（右边序列之因果序列）解：n1211n0n1nnn)(az)(azaz1)(azu(n)zaX(z)这是无穷等比级数,公比是1azq，在什么情况下收敛？||||即,1||1azazaz,azzaz11所以：X(z)1本例，极点为z=a。④求序列1)nu(bx(n)nz变换及收敛域（左边序列之反因果序列）解：nn1n1n1nnnnz)(bzb1)znu(bX(z)bz,bzzzb1zbX(z)11本例，极点为：z=b⑤求序列0nb0nax(n)nnz变换及收敛域解：|b||z||a|,b)a)(z(zb)az(2zazzbzzzazbX(z)0nnn1nnn本例，极点为：z=a,z=b⑥u(n)ay(n)n的Z变换为1/(1-az-1)____，收敛域为___∣z∣∣a___。1)nu(ay(n)n的Z变换为1/(1-az-1)____，收敛域为___∣z∣∣a___。5.①已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|a,求其逆Z变换x(n)。（留数法）解：n≥0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a；n0时，F(z)在c内有2个极点：z1=a,z2=0（高阶）；②PPT例11（留数法）③PPT例12（部分分式展开法）④（考原题！！！！！！！！！！）已知4z,)41z)(z(4zX(z)2，求z反变换。解:是因果序列。)(是右边序列，故)(且处，的收敛域包含)(，即1)(limnxnxzXzXz所以当n0时，x(n)=0