信号与系统第三章习题部分参考答案

信号与系统第三章习题部分参考答案3-2已知连续时间周期信号()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=35sin432cos2tttfππ。将其表示成复指数傅立叶级数形式，求nF，并画出双边幅度谱和相位谱。解：由于()tf为连续的时间周期信号。由于题易知T=61ω=3π又()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=35sin432cos2tttfππ即有20=a12=a45=b200==aF()2121222=−=jbaF()221555jjbaF−=−=431FFF==故()53322212tjtjjeetfππ−+=又nnFF−=其双边幅度谱如图3-2-1所示易知43210ϕϕϕϕϕ====25πϕ−=25πϕ=−其相位谱如图3-2-2所示15w−12w−012w15wwnF0F215−F2−F2F5F图3-2-115w−015wwnϕ2π2π−图3-2-2相位谱3-4如题图3-4所示信号，求指数形式和三角形式的傅里叶级数。()tf1EE−T2/T题图3－4t()tf21Tt()tf31TT−000T−T24T4T−t()tf61TT−04T4T−2T2T−()tf5()tf4ATT2T−ATT−4T4T−00()a()b()c()d()e()fttt解：（a）由于)(1tf为奇函数故有00=a})sin()sin([22002∫∫+=−TTndtnwtdtnwtTEb=]1)[cos(2−ππnnE0n=2kNk∈πnE4−n=2k+1Nk∈∴]))12sin((121)5sin(51)3sin(31)[sin(4)(1⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅+++−=wtkkwtwtwtEtfπ=)sin(]1)[cos(121nwtnnEn−−∑∞=ππ]1)[cos()(21−−=−=ππnnEjjbaFnnnjnwtjnwtnennEjeFtf}1)[cos(1)(1−−==∑∑+∞∞−+∞∞−ππ3-8：设()()ωFtf↔，试用()ωF表示下列各信号的频谱。（1）()()tftf+2；（2）()[]ttfm0cos1ω+（3）()tf36−；（4）()()tft2+；（5）()tft3；（6）()dttdfetj0ω−（7）()()tft−−11；（8）()()3−∗tftf；（9）()τττdft∫∞−（10）()ττdft∫+∞−5（11）()ττdft∫−∞−2/1（12）()()tjetfdttdf−−+23；（13）()()tSatf2∗（14）()()tutf（15）()dttdft−1（16）()()()322−−tjetft解：（1）)()](*}([21)()().()()(2wFwFwFtftftftftf+↔+=+π（2）)(cos()()cos()cos()](1[000twtmftwtwtmf+=+)]}([)([{2)]()([0000wwjFwwjFm−+++−++↔δδπ（3）wjejwFtftf2)31(31)]2(3[)36(−−↔−−=−（4）)(2)()(2)()()2(wFwFjtfttftft+′↔+=+（5）)3(31)3(wFtf↔)3(31)3(wFjttf′↔（6）)()(wjwFdttdf↔)()()(000wwFwwjdttdfetjw++↔−（7）dwewFdjewFttftftftjwjw])([)()1()1()1()1(−−−−−↔−−−=−−jwewFj−−′−=)(（8）wjewFtf3)()3(−↔−wjwjewFewFwFtftf323)()().()3(*)(−−=↔−（9）)(1)()0()(wFjwwFdft∫∞−+↔δπτττ（10）)](1)()0([)(55jwFjwwFedftwj+↔∫+∞−δπττ（11）)]2(21)()0([2)]1(2[2)(2/1jwFwjwFedfdfttjw−+−↔−−−=∫∫−∞−∞−−δπττττ（12）)()(wjwFdttdf↔3/)1(2)31(31)()23()(+−++↔−+wjjtewFwjwFetfdttdf（13）2/)()(4wGtsaπ↔)()(2)(*)(4wGwFtsatfπ↔（14）)](1[*)(21)()(wjwjwFtutfπδπ+↔（15）jwewjwFdttdf−−↔−)()1(jwjwjwewFwewFewjwFdttdft−−−−′−−−−↔−)()()()1(（16）)]2(2)2([)()2(6)3(2−−−′↔−−−wFwFeetftjtj3-10利用三种方法求题图3-10所示信号的频谱。题图3－10f1(t)t1-10-f2(t)t0()a()bT2τ2τ−T−解：(a)方法一利用定义⎩⎨⎧≤≤−=0/)(τττtttf)]()[cos(2)(τττττwsawwjdtetwFjwt−==−−∫方法二利用时域微分性质对f(t)求一阶导数得到)()()(1)(2δδτδττ−−+−=′tttGtf)cos(2)(2)(1ττwwsawF−=0)0(1=F)]()[cos(2)()0()()(11ττδπwsawwjwFjwwFwF−=+=方法三利用频域微分性质)()]()([)(2tGttututtfτττττ=−−+=)(2)(2τττwsatG↔)]()[cos(2)](2[)(τττττwsawwjdwwsadjwF−==3.18用傅里叶变换的对称性，求下列各信号的频谱（1）()()112sin−−ttππ（2）()2sin⎥⎦⎤⎢⎣⎡ttππ；（3）0,222+ataa；（4）tja+1；解：（1）∵()()2wGttSaττ↔∴000()2()2wwtwSaGwπ↔−令04wπ=有4sin242()2tGwtπππππ↔−∴4sin2(1)()(1)jwtGwetπππ−−↔−−（2）∵三角形脉冲2(1)[[()]2twSat⎜⎜τ−ε(τ+τ)−ε(τ−τ)]↔τ∴200000[()]2(1)[()()]2πτ⎜−⎜↔−ε+−ε−令02wπ=有2sin2()2(1)[(2)(2)]2tπππππππ⎜⎜↔−ε+−ε−即2sin()(1)[(2)]2twwtπππππ⎜⎜↔−ε(ω+2)−ε−（3）双边指数信号∵222()ataetaw−⎜⎜↔−∞+∞+∴2222aaeawπ−⎜−ω⎜↔+（4）单边指数信号∵1()ateutajw−↔+∴()12()aweuwajtπ−−↔−+即12()aweuwajtπ↔−+3.20求下列各傅里叶变换的原函数（1）()()0ωωδω−=F（2）()()()00ωωωωω−−+=uuF；（3）()()21ajF+=ωω；解：（1）()()tjFetf02121ωπωπδ=∴⎯→⎯Θ（2）()()()()()tSttSinwdwetfuuFajwt000000021ωπωππωωωωωωω===∴−−+=∫−Θ（3）()()()()(){}()()()()()()()()0111102≥=⋅=−⋅=∗=∴+=+⋅+=+=−−−−−−∞+∞−−−−−∫∫ttedeedtueuetuetuetfjatueFjajajaFatatataaatatatτττττττττωωωωω又Θ3－22已知()ωF的图形如题图3-22所示，求其傅里叶反变换()tfω()ωF()a0cω1()bcω−()ωϕω0tcω−ω()ωF0cω1cω−()ωϕω0cωcω−2π2π−()101322()()()()]()()()]()()()()()]()()()()()()]()ccccccjwjwtcccccccaFwuwwuϕϕππ−Δ−||=[+−−=[+−−=||=[+−−=+−−↔[+−−=由于先求的傅立叶逆变换,由变换对所以110()22()()()()()()[()]()()()'()()()]()()]()()]()()]()'()'(cjwtcccjwjjccccawtFwFweftfttwftSawttbFwFweFwuwwuweuwuwwejuwwuwjuwuwwFwFwFϕπππ−==+=+=||=[+−+[−−=[+−−[−−又由FT延时性即则的微分为)[()()][()()][()()2()]1cos()()12()11['()][cos]['()]()['()]()(1cosccccccccwjδδδδδδδδδπδππππ=+−−−−=++−−↔++−↔=−=−==−−-1-1-1由即F由FF所以1)wt3.25已知信号()()tftf21,的带宽分别为21,ωω，且21ωω，则下列信号的带宽分别为多少？若对下列信号进行理想冲激抽样，所允许的最大抽样间隔T是多少？（1）()ttf21cosω（2）()11,cosωωωccttf（3）()()tftf21⋅（4）()()tftf21∗（5）()()tftf2132+（6）()tf21（7）()()tftf221∗（8）()()21221−⋅−tftf解：(2)πωωπω1112121===ssfT，带宽为(3)πωωωωπωω2121212121+=+==+ssfT，带宽为(4)πωωπω2222121===ssfT，带宽为(5)πωωπω1112121===ssfT，带宽为(6)πωωπω2222221212===ssfT，带宽为(7)πωωπω2222121===ssfT，带宽为(8)πωωπωωωωπωω22222121221212121+=+=+==+ssfT，带宽为3－26确定下列信号的奈奎斯特频率和奈奎斯特间隔（1）()tSa50（2）()()tSatSa801002+（3）()()[]2240100tSatSa+2326(1)(50)[(50)(50)]5050,,.5050(2)(100)[(100)(100)]100100,,.100100(3)(80)(1),160.801601mmmSatuwuwwSatuwuππππππππ−↔+−−=↔+−−=||↔−||160,==即信号的最大频率最低抽样率=奈奎斯特间隔即信号的最大频率最低抽样率=奈奎斯特间隔即信号的最大频率所以最低抽样率.60160,.160160πππ==,奈奎斯特间隔所以信号的最大频率为160.即最低抽样率奈奎斯特间隔3.42知电路如题图3-42所示，求该系统的频率响应()()()ωωωIVH=，欲使系统无失真传输信号，确定21,RR。传输过程有无时间延迟？解：此电路的系统函数为()()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++==CJRLJRCJRLJRIVHωωωωωωω112121代入L和C的数值，其幅频特性为：()()()[]()()[]22122221222111ωωωωωRRRRRRH++−++−=要求无失真传输，即为()KH=ω，代入得()()()[]()()[]22122221222111ωωωωωRRRRRRH++−++−==k()()[]42212221242222221212211ωωωω+−+++=+++⇒RRRRKRRRR令两边对应项系数相等，得()[]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+++=+=222212221222212212211RkRRRRkRRkR解方程组得121==RR