数字信号处理第六章

滤波的目的–为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例滤波技术包括:–滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数，–滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的6.1数字滤波的基本概念数字滤波器–输入、输出均为数字信号，通过一定的运算关系，滤除输入信号中某些频率成分或改变输入信号频谱中各频率分量的相对比例的器件–具有某种特定频率特性的线性时不变系统–广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器数字滤波器的特点–精度高、稳定、灵活–不要求阻抗匹配、实现特殊的滤波器设计数字滤波器的任务–寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性0)()()(nnjezjenhzHeHj0)()()(nnjezjenhzHeHj对因果稳定的线性时不变系统：)(jeH:滤波器的传输函数H(z):系统函数h(n):滤波器的单位脉冲响应)()()(jjeHeH)]([Im)]([Re)(22jjeHeHH)](Re[)](Im[)(jjeHeHarctg)(H：幅度响应)(：相位响应1、数字滤波器的分类：–经典滤波器：有用频率与滤掉频率占用不同频带–现代滤波器维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器经典滤波器A、DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：（1）频率变量以数字频率表示，，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率为周期；（3）频率特性只限于范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。理想滤波器的频率响应B、DF按实现的网络结构分类可分为无限长脉冲响应（IIR）滤波器；有限长脉冲响应（FIR）滤波器11101)(zazbzHkNkkNk10)()(NnnznhzH二、DF的性能要求（低通为例）707.00通带截止频率阻带截止频率ps1ps通带阻带过渡带三、DF频响的三个参量1、幅度平方响应2、相位响应从信号不失真角度讲通常要求–相位线性)(为时延常数–具有群恒时延特性常数)()(dd)(相位响应四、DF设计内容1、按任务要求确定Filter的性能指标；2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；4、用软件还是用硬件实现。五、IIR数字filter的设计方法1、借助模拟filter的设计方法（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的；（3）将（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指标。2、计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。)s(Ha)()(zHsHa6.2模拟滤波器设计IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两种常用的滤波器的设计方法：–巴特沃思(Butterworth)滤波器–切比雪夫(Chebyshev)滤波器6．2．1模拟滤波器设计的基本概念1.模拟滤波器的频率特性与衰减特性滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数jssHjH|)()(工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，它一般用反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义dBjHjHA|)(|lg20|)(|lg10)(2当要求滤波器具有线性相位特性（延时τ为常数）时滤波器的频率特性为HjHjej()|()|())(，2.归一化与频率变换采用归一化参数–设计结果具有普遍性–计算方便归一化包含：–电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)。–频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的截止频率）•计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化–频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通、带通、带阻等其它类型的滤波器的变换方法3.从模方函数求模拟滤波器的系统函数H(s)当不含有源器件，作为一个因果稳定、物理可实现的系统函数必须满足的条件|()|Hj2a、是一个具有实系数的s有理函数)(/)()(sDsNsHb、所有极点必须全部分布在s的左半平面内c、分子多项式式N(s)的阶次必须小于或等于分母多项式D(s)的阶次——正实函数实函数的傅立叶变换存在共轭对称的性质HjHj*()())()(|)(|2jHjHjH)()(sHsHjs|()|()*()()()HjHjHjHjHj2有得平面的虚轴，解析延拓代表sj从给定的模方函数求出所需要的系统函数的方法a、解析延拓,令s=代入模方函数得到,并求其零极点jHsHs()()b、取所有在左半平面的极点作为的极点)(sHHsHs()()c、按需要的相位条件(最小相位,混合相位等)取一半的零点构成的零点)(sHHsHs()()4．模拟滤波器的设计-逼近问题pAsA：通带衰减：阻带衰减,：与通带衰减、阻带衰减有关的系数：通带截止频率：阻带截止频率ps寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性——谓逼近问题最常用的具有优良性能的滤波器：–巴特沃思(Butterworth)滤波器–切比雪夫(Chebyshev)滤波器–椭圆(elliptic)函数或考尔（Cauer）滤波器–实现线性相位的贝塞尔滤波器)1log(20)11log(102ppAssAlog20)11log(102之间的关系、与sPAA,6．2．2巴特沃思Butterworth低通滤波器1．基本性质BW滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数BW的低通模平方函数表示,,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc指定、后，带到上式，得pApp21.0222)1(1011)/(11|)(|pANcpppjH10101.Ap13＝时，＝当dBAp指定、后，带到上式，得sAss21.02221011)/(11|)(|sANcsssjH10101.As用3dB截止频率来规一化：对频率进行，下式变为c/c,,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc|()|()HjN2211讨论：|()|()HjN2211当=0时，=1,取最大值|()|Hj2当时，=0.5,取3dB值)(1c|()|Hj21)(/,1/22接近时，很小，通带jHNNcc0)(/,1/22接近时，很大，通带jHNNcc阻带内，由于|()|()HjjjcN221或AHjNjjsc10202lg|()|lg()幅度随着N的增加阻带衰减近似为6Ndb/倍频程。N越大，频带特性越接近理想矩形特性|()|()HjN2211上式的台劳级数展开为：NNjH4221|)(|12,,2,1,0|)(|02NkjHddk=0处函数对2N—l阶导数都等于零——曲线在=0附近是最“平坦”,——巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦滤波器”归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性2．设计过程(a)按给定指标确定阶次N222)(Nps)/lg()]110/()110lg[(21)/lg()/lg(1.01.0psAApspsN)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1.0csAcscssN实际计算时，要对上式求得的数值取整加1。若给定的指标=3dB,即通带边频时,ε=1,可求得cppA(b)从模方函数求系统函数H(s)①求得极点,,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc带入上式，得：js0)(12Ncjs)12()1(kje由于NkesNNkjck2,,2,12/)12(分析讨论c在归一化频率的情况=1，极点均匀分布在单位圆上NkesNNkjk2,,2,12/)12(对于物理可实现系统,它的所有极点均应在s的左半平面上②系统函数的构成滤波器的极点求出后，可取左平面上的所有极点构成系统函数)(1)(1iNissAsH对于低通滤波器，为了保证在频率零点=0处，=1，可取|)(|jHNiiNsA1)1()()1()(1iiNiNssssH因此得例6-2-1举例说明系统函数的构成设计一巴特沃思滤波器，使其满足以下指标:通带边频=100krad/s,通带的最大衰减为=3dB，阻带边频为=400krad/s,阻带的最小衰减为=35dBpApsAs解:由于通带边频就是3dB截止频率，即cp11101.0pA2.561101.0sA确定阶次N，9.24lg2.56lg)/lg()/lg(csN3N取求左半平面的极点:sekkcjkNN()/,,212123,3/21jces,2jcessecj323/得极点：构成巴特沃思滤波器传输函数H(s)为Hssssssssssssscccc()()()()1231233322322相对截止频率归一化，得归一化巴特沃思滤波器传输函数cHsa()Hssssa()122132③一般N阶归一化巴特沃思滤波器传输函数表示HsssasasassaiNiNNN()()111112211是=1时的极点，分布在单位圆上sic分母一般称为巴特沃思多项式，其系数可通过查表求得,见表5-2-1表6-2-1巴特沃思多项式系数Na1a2a3a4a5a6a7a8a921.414232.00002.000042.61313.41422.613153.23615.23615.23613.236163.86377.46419.14167.46413.863774.494010.09714.59214.59210.0974.494085.152813.13721.84625.68821.84613.1375.152895.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925表6-2-2巴特沃思多项式因式分解N巴特沃思多项式1s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)上述归一化公式和表格是相对3dB截止频率给出的。由指定的技术指标利用上述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波器的节数N和3dB截止频率。N用来求巴特沃思多项式，用来反归一化，求实际滤波器的参数。ssPpAA,,,ccc设计举例二（巴特沃斯filter）1、技术指标2、计算所需的阶数及3dB截止频率将技术指标，代入上式，可得1)102j(Hlg203a15)103j(Hlg203