信号与系统chapter 5

张利华QQ:179611328E-mail:[e-mail]第五章离散时间信号与系统的频域分析5.2信号的抽样5.1引言5.3离散非周期信号的频谱——离散时间傅里叶变换5.4离散周期信号的频谱——离散傅里叶级数5.5离散时间LTI系统的频域分析5.2信号的抽样连续时间信号的抽样信号的抽样包括时域抽样和频域抽样，本节仅讨论信号的时域抽样。将模拟信号按一定时间间隔循环进行取值，从而得到按时间顺序排列的一串离散信号的过程称为抽样完成抽样功能的器件称为抽样器。下图所示的是抽样器的示意图，5.1引言在时间域对信号和系统进行分析和研究比较直观，概念清楚，但有很多问题在时间域分析和研究起来困难例如有两个序列，从波形上看，一个变化快，另一个变化慢，但都混有噪声，希望分别用滤波器滤除噪声，又不能损伤信号。为了设计合适的滤波器，需要分析信号的频谱结构。因此，有必要将时域信号转换到频率域，分析它的频域特性，然后进行处理。图中表示模拟信号，表示抽样信号，为周期性冲激函数序列，其中T为抽样周期，为抽样频率。ˆ()axt()()Tpttsf()axt当t→0的极限情况，此时抽样脉冲序列变成冲激函数序列，就是理想抽样情况，下图为理想抽样和实际抽样。()pt()Tt§理想抽样当上图所示的抽样器开关S的闭合时间t0时，抽样脉冲序列变成冲激函数序列，即：()pt()Tt()()()TnptttnT∞∞理想抽样输出为：ˆ()axtˆ()()()()()()aaaannxtxtptxttnTxttnT∞∞∞∞化简上式可得：ˆ()()aanxtxnTtnT∞∞ˆ()axt()pt()()esjrtrnrpttnTC∞∞∞∞)(txattt)(ˆtxa)()(ttpT10T00将展开成傅里叶级数，得：理想抽样图§频谱延拓利用时域卷积性质可求其理想抽样信号的频谱()axtsfmf2smff≥sf下图5.1为理想抽样后信号的频谱分析在理想抽样中，为了使平移后的频谱不产生“混叠”失真，应要求抽样频率足够高。在信号的频带受限的情况下，抽样频率应等于或大于信号最高频率的两倍，即：这就是时域抽样定理，又称Nyquist（奈奎斯特）抽样定理。其中抽样频率又称为奈奎斯特频率，抽样频率的一半称为折叠频率，是使抽样信号频谱不混叠时的最大的抽样间隔，称为奈奎斯特间隔。()aXmm01()axt0T12s2sssmmˆaX（）ˆ()axt2sm（b）抽样信号的频谱（）（a）连续信号的频谱jj222211()ed()edssTTrtrtTTrnCptttnTtTT∞∞j022111()edesTrtTttTTT因此的傅里叶变换为：()ptj12π()e(jj)srtsrrPrTT∞∞F其中11ˆ()()()()()()()2πaaaasrXxtptXPXrT∞∞F1()asrXrT∞∞s(5.1)则理想信号的抽样频谱为：在信号抽样过程中，随着抽样角频率的降低，周期化过程中相邻频谱间隔将会减小，当或时，平移后的频谱必互相重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同，使得抽样后信号的频谱产生失真，如下图5.1（d）所示，这种现象称为“混叠”。如果原信号不是带限信号，则“混叠”现象必然存在。2sm2smffˆ()aXˆ()axt)(jeX0T122()xnˆ()aX0T1ssˆ()axt2sm（c）抽样信号的频谱（d）理想抽样后信号的频谱（）jTˆ(e)()aXXjT1ˆ(e)()()aasrXXXrT∞∞jT12π(e)arXXrTTT∞∞2πsfTfsff由于是对归一化的结果，故可以认为离散时间序列的频谱是抽样信号的频谱经频率归一化后的结果，如图5.1（c）所示。所以有将式（5.1）代入上式得或§频率归一化()xn()axt()()axnxnTˆ()aXˆˆ()()()()()aaaanXxtxtptxnTtnTFFFj()()()enTaannxnTtnTxnTF()xnjj(e)()ennXxn∞∞则抽样信号的频谱为：另一方面，离散时间序列的傅里叶变换为设离散时间序列是模拟信号通过周期抽样得到，即ˆ()axtˆ()axt2s2()02ssTH≤理想低通滤波器的频率特性同样从图5.1中可知，为了从抽样信号中恢复出原来的模拟信号，让抽样信号通过一个截止频率为的理想低通滤波器，就可将抽样信号中的基带频谱取出来。这个理想低通滤波器的频率特性见下式，对应的频率特性如下图所示。2()02ssTH≤§信号重建1ˆ()X(),T2saaX≤其方法是：在抽样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称之防混叠滤波器，其截止频率为用来滤除高于此频率分量的信号，以保证进入抽样器的信号是一带限信号。2s从图5.1可以看出，如果抽样信号的频谱不存在混叠，那么在工程实际中，许多信号的频谱很宽或无限宽，如果不满足抽样定理约束条件的情况下直接对这类信号进行抽样，将产生无法接受的频谱混叠（称为混叠误差）。为了改善这种情况，故要加入一个抗混叠措施。()ht/21jj/211()()()ede2π2πssttahtHHTd∞∞Fπsinsinπ2π2()π2sassttTStTTttT其中，πsin()d()π()aanntnTTxhtnTxnTtnTT∞∞∞∞∞∞ˆ()()()()ddaaaanytxtxhtxnTht∞∞∞∞∞∞对应理想低通滤波器的冲激响应为：则理想低通滤波器的输出为：上式就是从抽样信号恢复原信号的抽样内插公式，说明输出等于原信号抽样点的值与内插函数乘积和。内插函数是πsin()π[()]π()atnTTstnTTtnTT内插函数在的抽样点上的值为1，在其余抽样点上的值都为零，在抽样点之间的值不为零，如下图所示tnT()ayt()axttnT被恢复的信号在抽样点上的值恰好等于原来连续信号在抽样时刻的值，而抽样点之间的部分由各内插函数的波形延伸叠加而成，如下图所示()axtˆ()axt()xn200Hzsf（1）的周期、抽样样频率和抽样样间隔为多少？（2）若选用抽样频率，则抽样间隔是多少？写出抽样信号的表达式（3）求的周期0π()sin2π8axtft050Hzf已知模拟信号，其中求解：001/0.02sTf()axt02100Hzsff≥1/0.01ssTf≤()axt()axt周期为抽样频率为抽样间隔为（1）由，得050Hfz200Hsfz1/0.005ssTf0π50πππT()sin2πsin2πsin8200828aatnTnxnxtfnTnππˆ()()()sin28200aannnnxtxnTtnTt∞∞∞∞（3）因为，N=4为最小正整数，所以的周期为401π2π2π()()sinπ,428π1/2atnTNxnxtnk()xn（2）选，则抽样间隔为故离散时间信号的抽样(),,()0,pxnnkNkxn为整数其他离散时间信号抽样后得到的序列称为离散时间抽样序列，它在抽样周期N的整数倍点上的抽样值等于原来的序列值，而在这些点之间的抽样值都为零，即离散时间信号抽样过程如下图所示：101()()NjpskXeXkN2sm≥()pxn()jpXe()xn()jXe2πsN离散时间信号抽样的频谱如下图所示。由下图的（c）和（d）可以得出：在离散时间信号抽样中，为了不发生混叠失真，抽样频率应满足条件：上式表明，离散时间抽样序列的傅里叶变换是原序列的傅里叶变换的周期延拓，周期为抽样频率。πjjjjj()π11(e)(e)(e)(e)(e)d2π2πpXPXPX()ptj2π(e)()skPkN∞∞将代入上面两式可得：这可看作是一个信号的调制过程，即：与上一节冲激序列的傅里叶变换的推导类似，有：()()()()()()()pkkxnxnpnxnnkNxNknkN∞∞∞∞2πsN则对应的频域形式为：离散时间信号抽样频谱()pxn()xn2()02sjsNHe≤j221()edsin2ππ2ssnsNhnNnn()()*()sinπ2srpkNxnxnhnxkNnkNTnn∞∞sin()()π2srkkNxkNnkNxkNhnkNn∞∞∞∞在离散时间抽样序列信号的频谱没有混叠失真的情况下，用一个理想低通滤波器就可恢复出原信号，如下图所示。其中理想低通滤波器的频率特性为：对应的冲激响应为：则低通滤波器的输出为：利用理想低通滤波器从离散时间信号抽样序列中恢复原离散时间序列5.3离散非周期信号的频谱—离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换()xnjjX(e)[()]()ennDTFTxnxn∞∞()jXeπjjjπ1()I[X(e)]X(e)ed2πnxnDTFT()jXejjjRIX(e)X(e)X(e)的离散时里间傅叶反变换定义为：离散非周期序列的离散时间傅里叶变换定义为：为复数，可用它的实部和虚部表示为:jjargX(e)jΩjΩj()X(e)X(e)e()eX或用幅度和相位表示为:对于上式成立的条件是序列绝对可和，或者说序列的能量有限，即满足：()nxn∞∞∞绝对可和只是一个充分条件，例如及一些周期信号等，都不是绝对可和的，因此认为它们的离散时间傅里叶变换不存在。但是，如果引入奇异序列的概念，那么这类不绝对可和的序列也存在离散时间傅里叶变换。()xn()un解：由离散时间傅里叶变换的定义，有则11cosjsinX()1cossin(1cosjsin)(1cosjsin)jaaeajaaaaa12221cossin1(12cos)(12cos)ajaaaaajjjjj001(e)()ee(e)1ennnnnnnXxnaaa∞∞∞∞求信号(a为实数，且0a1)的离散时间傅里叶变换。()()nxnaunsinarg()arctg1cosjaXea其对应的幅度谱和相位谱如下图所示。例5.2中傅里叶变换的幅度谱和相位谱离散时间傅里叶变换的性质jj1122(e)[()],(e)DTFT[()]XDTFTxnXxnjj1212DTFT[()()](e)(e)axnbxnaXbX设()DTFT[()]jXexn则0jj0DTFT[()]e(e)nxnnX00jj()DTFT[e()](e)nxnX1．线性特性2．时移特性和频移特性设则离散序列的离散时间傅里叶变换具有以下两个特点：j(2π)j