信号与系统习题答案 第三章

第三章习题基础题3.1证明cost,cos(2)t,…,cos()nt(n为正整数)，在区间(0,2)的正交集。它是否是完备集?解：(积分???)此含数集在(0,2)为正交集。又有sin()nt不属于此含数集02sin()cos()0ntmtdt，对于所有的m和n。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。3.2上题的含数集在(0,)是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)内是正交的。3.3实周期信号()ft在区间(,)22TT内的能量定义为222()TTEftdt。如有和信号12()()ftft(1)若1()ft与2()ft在区间(,)22TT内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()ft与2()ft不是相互正交的，求和信号的总能量。解：(1)和信号f(t)的能量为222222222221212222()12()()()()()()TTTTTTTTTTEftdtdtftdtftdtftftdtftft（少乘以2）由1()ft与2()ft在区间内正交可得2122()()0TTftftdt则有22221222()()TTTTEftdtftdt即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。和信号的能量为(2)222222222221212222()12()()()()()()TTTTTTTTTTEftdtdtftdtftdtftftdtftft（少乘以2吧？）由1()ft与2()ft在区间(,)22TT内不正交可得2122()()0TTftftdtK则有2222222212122222()()()()TTTTTTTTEftdtftdtKftdtftdt即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。3.4求下列周期信号的基波角频率和周期T。（1）100jte（2）]2/)3(cos[t（3）)4sin()2cos(tt（4）cos(2)cos(3)cos(5)ttt（5）)4/sin()2/cos(tt（6）)5/cos()3/cos()2/cos(ttt解：(1)角频率为＝100rads，周期22100Ts(2)角频率为2rads，周期42Ts(3)角频率为2rads，周期2Ts（先求T，后求omg吧？）(4)角频率为rads，周期22Ts(5)角频率为4rads，周期28Ts(6)角频率为30rads，周期260Ts3.5用直接计算傅里叶系数的方法，求图示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。解：(1)周期T=4,2T2，则有1,4k-1t4k+1f(t)=0,4k+1t4k+3（k是整数；怎么求的边界条件？）由此可得222()cos()()TTnaftntdtT221()cos()22ntftdt111cos()22ntdt2sin(),0,1,2,2nnn22221()sin()()()sin()22TTnntbftntdtftdt111sin()0,1,2,22ntdtn（X？）(2)周期T=2，2T，则有sin(),221()0,2122tktkftktk由此可得：1121022111()()()sin()221,0,1,2,2(1)TjntjntjntTnnjntFftedtftedttedtTenn（积分？3.6如图所示是4个周期相同的信号(1)用直接求傅里叶系数的方法求图（a）所示信号的傅里叶级数（三角形式）；(2)将图（a）的函数1()ft左（或右）移，就得图（b）的函数2()ft，利用(1)的结果求2()ft的傅里叶级数；(3)利用以上结果求图（c）的函数3()ft的傅里叶级数；(4)利用以上结果求图（d）的信号4()ft的傅里叶级数；解：(1)由1()ft的波形可知12,2()0,2TtkTtkTTftTkTtkTT令2T，则有220212112121211222cos()sin()sin(),1,2,1cos()1cos()()cos()sin()4()()()()()2211cos()1cos()sin()4()TTTnnnnnnbntdttntdtnTTTnnnftntntnnTTftftftftnntntnn2210222cos()()cos()TTTnantftdtntdtTT2cos()1,1,2,()nnn22102222sin()()sin()cos(),1,2,TTTnbntftdttntdtTTTnnn则1()ft的傅里叶级数为12111cos()1cos()()cos()sin()4()nnnnftntntnn(2)由2()ft和1()ft的波形图可知21()()2Tftft或21()()2Tftft则2()ft的傅里叶数为21()()2Tftft2111cos()1cos()cos()sin()4()22nnnTnTntntnn2111cos()1cos()cos()sin()4()nnnnntnntnnn2111cos()1cos()cos()cos()cos()sin()4()nnnnnntnntnn21111cos()1cos()sin()4()nnnntntnn(3)由3()ft的波形可知32()()ftft则3()ft的傅里叶级数为32()()ftft21111cos()1cos()sin()4()nnnntntnn21111cos()1cos()sin()4()nnnntntnn(4)有4()ft的波形可知423()()()ftftft则4()ft的傅里叶级数为4232121cos()1()()()cos()2()nnftftftntn3.7试画出图示信号的奇分量和偶分量解：（1）由1()ft的波形求得1()ft的波形则奇分量的波形为()odft=11()()2ftft偶分量的波形为()edft=11()()2ftft（2）由2()ft的波形求得2()ft的波形则奇分量的波形为()odft=11()()2ftft偶分量的波形为()edft=11()()2ftft3.8利用奇偶性判断图示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。解：（1）由1()ft的波形可知1()ft=1()ft=1()2tft则有204()cos()tnaftntdtt,0,1,2,n…0nb0242460aaabbb……则1()ft的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。（2）由2()ft的波形可知22()()ftft则有0na204()sin(),0,1,2,tnbftntdtnt…则2()ft的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。（3）由3()ft的波形可知33()()ftft则有0nb204()cos(),0,1,2,tnaftntdtnt…即3()ft的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。（4）由4()ft的波形可知，4()ft为奇谐函数，即44()()2tftft则有0242460aaabbb……即4()ft的傅里叶级数中只含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。3.9如图的周期性方波电压作用于RL电路，试求电流()it的前五次谐波。解：由()sut的波形图可知周期22,1TT，则有1,2222()30,2222{sktkutktk由此可得傅立叶级数的系数222()cos()TnsTautntdtT1()cos()sutntdt221cos()ntdt221021,2,sin()2{ndtnnn时，a0时，an因()sut为偶数，则0,1,2,nbn则电路激励()sut的前五次谐波为5011222()cos(5)coscos(3)cos(5)2235snnautatttt由电路得系统微分方程为'()()()sititut欲求电流()it的前五次谐波，即求此微分方程激励的前五次谐波的特解。设0123456()cossincos(3)sin(3)cos(5)sin(5)pitCCtCtCtCtCtCt代入上面微分方程比较两边系数可得01234561111,,,,215111,,56515CCCCCCC则电流()it的前五次谐波为1111111()cossincos(3)sin(3)cos(5)sin(5)21556515pittttttt3.10求图示各信号的傅立叶变换。解：（a）由1ft的波形可知11,00,{tft其它则1ft的傅立叶变换为110jtjtFjftedtedt212jjesaej（b）由2ft的波形可知21,00,{ttft其它则2ft的傅立叶变换为2201jtjtFjftedttedt2111jjjjeeejejjj（c）由3ft的波形可知3cos,1120,{ttft其它则3ft的傅立叶变换为33jtFjftedt11cos2jttedt122112jtjtjteeedt122112jtjteedtsinsin222222cos2（d）由4ft的波形可知4sin,220,{TTttft其它则4ft的傅立叶变换为44jtFjftedt222222sinsinsin222242sinsin222TjtTtedtTTTTjjTTjTjT3.11根据上题（a）（b）的结果，利用傅立叶变换的性质，求下图所示各信号的傅立叶变换。解：(a)令1,00,{tft其它，由上题可知其傅立叶变换为22jFjsae由1ft的波形可知1ftftft由傅立叶变换的性质可知1ft的傅立叶变换为22214sin222jjjFjFjFjsaesae(b)令1,010,{tft其它，由上题可知其傅立叶变换为22jFjsae由2ft的波形可知233ttftftfftf