冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-1-冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班樊列龙学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点：①持续时间短.②取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac）函数，在信号领域中占有非常重要的地位.由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号.如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号.现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：221lim)(0ttt（1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A则表示一个冲击强度为E倍单位值得函数δ，描述为A=Eδ(t)，图形表示时，在冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-2-图1-2箭头旁边注上E。也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有)(lim)(ktSaktk（1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为tttasin)(S（1-3）其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t,1/t随t的增大而减小，sint是周期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±,±2,···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点．把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”，其余的衰减部分称为“旁瓣”。0t时，1)(Sta，并且有：(a)逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-3-图1-302)(dttSa因其是偶函数有dttSa)(（1-4）由式（1-4）知1)()()(dtktSakktdktSa（1-5）式（1-5）表明，)(ktSak曲线下的面积为1，且k越大，函数的振幅越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当k时，即得到冲激函数，波形表示如图1-3.实际上，脉冲函数的选取并不限于矩形脉冲与抽样函数，其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限，也可以变为冲激函数，作为冲激函数的定义。相应可以表示为：三角形脉冲：tttt||11lim)(0（1-6）双边指数脉冲：||021lim)(tet（1-7）钟形脉冲：201lim)(tet（1-8）冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-4-这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图1-4(a)、(b)、(c).定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为00(t)dt0t1(t)dt-tδδ（2-1）这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把δ函数称为狄拉克函数。现给出δ函数三个有用的特性：性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改变其面积。由于δ(t)的面积为1，时间压缩的冲激信号δ(at)的面积为|a|1，由于冲激信号δ(at)仍在t=0处发生，所以它可以被看做一个未压缩的冲激)(||1ata，即有)(||1)(ataat。由于时间位移不会影响面积的大小，所以有（a）三角脉冲（b）指数脉冲（c）钟形脉冲图1-4冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-5-)(||1)(00ttatta（2-2）式（2-2）可以用定积分中的变量代换法加以证明。特别的当0,10ta时，式（2-2）变为)()(tt(2-3)从式（2-3）可以看出，δ(t)是一个偶信号。性质二：抽样特性（筛选性）.用冲激函数)(0tt乘以任意连续信号)(tf，就可以得到一个冲激函数，它的强度等于)(tf在0tt处的值。即筛选出了)(0tf。从而有---)0()()0()0()()()(fdttfdtftdttft（2-4）类似有-0-0000-0)()()()()()()(tfdttttfdttfttdttftt（2-5）式（2-4）和式（2-5）表明：当连续时间函数)(tf与单位冲激信号)(t或)(0tt相乘，并在,时间内积分，可以得到)(tf在0tt处的函数值。性质三：位移特性.性质一和性质二表明乘积)()()()(000tttftttf的面积等于)(0tf，也就是说)(0tt移除了)(tf在0tt处的值。)()()(0-0tfdttftt（2-6）值得指出的是，冲激信号与阶跃信号的关系：)()(-tudt（2-7）dttdu)()(（2-8）)(t的狄拉克定义也可以表示为冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-6-1(t)dt0(t)0t0(t)δδδt（2-6）上式与式（2-1）一样都表示，0t处，是一个间断点，但作为数学抽象式，式（2-1）中采用1(t)dtδ的约束条件，已经概括了间断点0t得邻域内的积分00-1(t)dtδ，反映出0t时)(t的趋势，因此采用（2-1）的描述更合适。另一方面，狄拉克-函数的定义在数学上也是不严格的。如函数)()('tt也满足式（2-1）其中:)()('tdtdt为冲激偶信号，但)()('tt并不是单位冲激信号。为了给出奇异函数)(t的严格定义，我们先引入分配函数的概念。概念引出（1950年，L.Schwartz）电压v(t)表示方法：分析说明：①读数并不是直接待测物理量本身，而是待测函数v(t)与测试仪表特性h(t)二者综合结果冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-7-②电压v(t)的存在和性质借助h(t)来体现（测量系统是检测电压v(t)特性的手段），故称h(t)为检试函数。下面给出分配函数定义：定义三：用分配函数定义)(t.)(t指定给)(t的值为)0(.通过上面所给出的几种定义和性质，我们可以总结推导关于)(t的一些基本运算特性。（1）相加:(3-1)（2）相乘:(3-2)冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-8-（3）反褶:（3-3）证明参见性质一.（4）尺度:（3-4）（5）时移:（3-5）证明参见性质二.（6）卷积:仅对i)进行如下证明：（3-6）冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：0909113224-9-（7）复合函数：（3-7）证明：用泰勒级数展开，0)(itf，忽略高次项。复合函数形式的)(tf可化简为位于itt处的一系列冲激函数的叠加，强度为|)('|1itf。参考文献：［1］樊尚春，周浩敏.2011.信号与测试技术.2版.北京：北京航空航天大学出版社.［2］邹云屏，林桦，邹旭东.2009.信号与系统分析.2版.北京：科学出版社.［3］彭军，李宏.2009.信号与信息处理基础.北京：中国铁道出版社.