第2章第5节信号流图和梅逊公式

§§22--55信号流图和梅逊公式信号流图和梅逊公式‡‡由线性方程组绘制信号流图由线性方程组绘制信号流图‡‡由系统的结构图绘制信号流图由系统的结构图绘制信号流图‡‡梅逊增益公式梅逊增益公式J.Z.Xiao,CEIE,HBU2方块图是一种很有用的图示方块图是一种很有用的图示法。但对复杂控制系统，方法。但对复杂控制系统，方块图的简化过程太复杂，且块图的简化过程太复杂，且易出错易出错......MasonMason提出的信号流图，既能表示系统提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能的特点，而且还能直接直接应用梅逊公式方应用梅逊公式方便地便地写出写出系统的传递函数。系统的传递函数。J.Z.Xiao,CEIE,HBU3对于一确定的控制系统而言，描述系统运动的微分方对于一确定的控制系统而言，描述系统运动的微分方程组经程组经LaplaceLaplace变换成为以变换成为以ss为参变量的代数方程组，即为参变量的代数方程组，即各变量之间的关系为代数关系，即：各变量之间的关系为代数关系，即：njsXsGsXknkjkjL,2,1)()()(1==∑=其中有其中有nn--22个中间变量，个中间变量，11个输出量，个输出量，11个输入量。个输入量。信号流图信号流图是线性方程组中变量间关系的一种图示方法：是线性方程组中变量间关系的一种图示方法：1x2x21a1212xax=节点节点支路增益J.Z.Xiao,CEIE,HBU4一、由线性方程组绘制信号流图设一线性系统由下列方程组描述设一线性系统由下列方程组描述例例22--12125254243231212xaxaxaxax+++=2323xax=4443434xaxax+=4543535xaxax+=式中，式中，是输入变量，是输入变量，是输出变量。绘是输出变量。绘制这一系统的信号流图。制这一系统的信号流图。1x5x1x2x5x3x4x24a21a23a25a32a43a44a53a54aJ.Z.Xiao,CEIE,HBU5信号流图中的术语信号流图中的术语：：1x2x5x3x4x24a21a23a25a32a43a44a53a54a(1)节点：代表系统中的变量，且该变量等于所有流入该节点的信号之和。51~xx如：上图中节点只有输出支路的节点，它对应系统中的自变量或输入变量。1x如：上图中节点只有输入支路的节点，对应于系统中的输出变量。如：上图中节点5x输入节点或源点：输出节点或阱点：混合节点：即有输入支路，又有输入支路的节点。如：上图中节点432,,xxxJ.Z.Xiao,CEIE,HBU6(2)(2)支路：支路：代表信号在节点间的传递。信号在支路上按箭头的指向由一个节代表信号在节点间的传递。信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点。点流向另一个节点。(3)(3)通路：通路：沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路通路。如果通。如果通路与任一节点相交不多于一次，则称为路与任一节点相交不多于一次，则称为开通路开通路。如果通路的终点也是通路的。如果通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次，这种通路称为起点，并且与任何其它节点相交不多于一次，这种通路称为闭通路闭通路。闭通路。闭通路又称为又称为回路回路。。1x2x5x3x4x24a21a23a25a32a43a44a53a54a(4)(4)前向通路：前向通路：从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于——次，则称该通路为前向通路。如上图中次，则称该通路为前向通路。如上图中54321xxxxx→→→→(5)(5)回路：回路：回路就是闭通路。回路就是闭通路。(6)(6)不接触回路：不接触回路：如果一些回路间没有任何公共节点，则它们为不接触回路。如果一些回路间没有任何公共节点，则它们为不接触回路。J.Z.Xiao,CEIE,HBU71x2x5x3x4x24a21a23a25a32a43a44a53a54a(7)(7)前向通路增益：前向通路增益：在前向通路中，各支路增益的乘积叫做前向通路增益。在前向通路中，各支路增益的乘积叫做前向通路增益。554321xxxxxx→→→→→54433221aaaa上图中，前向通路上图中，前向通路的增益为的增益为(8)(8)回路增益：回路增益：回路中各支路增益的乘积。回路中各支路增益的乘积。上图中，回路上图中，回路的增益为的增益为25432xxxxx→→→→25544332aaaaJ.Z.Xiao,CEIE,HBU8二、由系统的结构图绘制信号流图二、由系统的结构图绘制信号流图G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)-G(s)-H(s)R(s)C(s)E(s)1由结构图绘制信号流图的主要规则：由结构图绘制信号流图的主要规则：（（11）不同节点代表不同的变量）不同节点代表不同的变量;;（（22）每一条支路代表一个框，或者一个直接连接的关系。）每一条支路代表一个框，或者一个直接连接的关系。框的传递函数注在支路旁边（增益），如果是直接连接，框的传递函数注在支路旁边（增益），如果是直接连接，标注标注11。。（（33）求和单元中若有反号运算，就把相应的增益反号）求和单元中若有反号运算，就把相应的增益反号。。J.Z.Xiao,CEIE,HBU9例2-13绘出如下结构图所示的系统的信号流图绘出如下结构图所示的系统的信号流图G1(s)H(s)R(s)C(s)E(s)G2(s)G3(s)G4(s)-注意：注意：1.1.在比较点之后的引出在比较点之后的引出点只需在比较点后设置点只需在比较点后设置一个节点一个节点便可。也即可便可。也即可以与它前面的比较点共以与它前面的比较点共用一个节点。用一个节点。2.2.在比较点之前的引在比较点之前的引出点出点BB，需设置，需设置两个节两个节点点，分别表示引出点和，分别表示引出点和比较点。比较点。G1-HR(s)C(s)E(s)G2G3G41E1(s)E2(s)1J.Z.Xiao,CEIE,HBU10三、梅逊增益公式∑∆∆=iiissQssG)()()(1)(——从某个输入量到系统的某个输出量的闭环传递函数。从某个输入量到系统的某个输出量的闭环传递函数。)(sG)(sQi——从该输入量到该输出量的某一个前向通道的传递函数。从该输入量到该输出量的某一个前向通道的传递函数。)(s∆——为信号流图的特征式。为信号流图的特征式。=∆)(s11－－所有不同回路的增益之和所有不同回路的增益之和＋＋每两个互不接触的回路的增益每两个互不接触的回路的增益的乘积之和的乘积之和－－每三个互不接触的回路的增益的乘积之和每三个互不接触的回路的增益的乘积之和＋＋……L+−+−=∆)()()(1)(321sNsNsNs)(si∆)(s∆——中将与第中将与第ii条前向通路相接触的回路增益置零之后的乘余部分。条前向通路相接触的回路增益置零之后的乘余部分。∑i——为对所有的前向通路求和。为对所有的前向通路求和。J.Z.Xiao,CEIE,HBU11例2-14求下面信号流图所示系统的传递函数：求下面信号流图所示系统的传递函数：G1R(s)G2G3G41G5－G9－G8G6G7C(s))(sR)(sC从从到到的前向通道共有的前向通道共有33个，其增益分别为个，其增益分别为)()()()()(543211sGsGsGsGsGQ=)()()()(54612sGsGsGsGQ=)()()(7213sGsGsGQ=系统共有系统共有44个回路，其回路增益分别是个回路，其回路增益分别是))()(()(9722sGsGsGL−=))()((841sGsGL−=))()(()()()(954324sGsGsGsGsGL−=))()(()()(95463sGsGsGsGL−=J.Z.Xiao,CEIE,HBU12)(1sL)(2sL与与互不接触互不接触G1R(s)G2G3G41G5－G9－G8G6G7C(s)L2L1)()()()()(43211sLsLsLsLsN+++=)()()(212sLsLsN=)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(1)()()(1)(9874295432965497284321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsNsNsNs+++++=+−+−=∆L与)(1sQ相接触的回路有)(),(),(),(4321sLsLsLsL11=∆与)(2sQ相接触的回路有)(),(),(),(4321sLsLsLsL12=∆与)(3sQ相接触的回路有)(),(),(432sLsLsL)()(1)(18413sGsGsL+=−=∆J.Z.Xiao,CEIE,HBU13)]()()()()()()()()()()()()()()()()()()(1/[)]}()(1)[()()()()()()()()()()()({))()()()()()(()(1)()()(1)(987429543296549728484721654154321332221sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGssQssQssQsssQssGiii++++++++=∆+∆+∆∆=∆∆=∑∑∆∆=iiissQssG)()()(1)(代入梅森增益公式：代入梅森增益公式：本节结束本节结束J.Z.Xiao,CEIE,HBU14作业：z题2-12p45z题2-13p45