信号分析与处理——傅里叶变换性质

三、傅立叶变换的基本性质1.线性2.奇偶性3.对偶性4.尺度变换特性5.时移特性6.频移特性7.微分特性8.积分特性9.帕斯瓦尔定理10.卷积定理傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式：时域描述和频域描述。为了进一步了解信号的这两种描述形式之间的相互关系，如:•信号的时域特性在频域中如何对应，•在频域中的一些运算在时域中会引起什么效应，等等，必须讨论傅立叶变换的一些重要性质。另外，很多性质对简化傅立叶变换或反变换的求取也很有用)()()()(2211XtxXtx)()()()(22112211XaXatxatxa1、线性（叠加性）若:则:例：求x(t)的傅立叶变换()xt2212t22()[()()][()()]xtutututut()[(/2)2()]XSaSa已知矩形脉冲信号的傅立叶变换为：1()(/2)XESa利用线性性质可得：2、奇偶性无论x(t)是实函数还是复函数，都有下面结论：**()()FxtX()()FxtX若:则:（2-85）的含义为：（2-85）时域共轭对应频域共轭并且反摺证明：由傅立叶变换定义式dtetxXtj)()(dtetxdtetxXtjtj)()()(***取共轭**()()[()]jtXxtedtFxt以－ω代替ω对于x(t)是实函数的特殊情况，则有下面结论：由于：*()()xtxt再根据（2-85）**()()FxtX可以得：*()()XX*()()XX等价为：（2-86）（2-86）的含义为：实函数的傅立叶变换具有共轭对称性由傅里叶变换的定义，有()()()cos()sinjtXxtedtxttdtjxttdt显然：频谱函数的实部和虚部分别为：Re()()cosxttdtIm()()sinxttdt（2-87）22arctanXRIIR频谱函数的幅度和相位分别为（2-88）下面讨论，当为：1）实函数；2）实偶函数；3）实奇函数的情况下，的奇偶、虚实特性()xt()X1）当为实函数的情况下()xtRe()()cosxttdtIm()()sinxttdt由：可知：Re()Re()Im()Im()22arctanIXRIR可知：XX由：即：当为实函数，其频谱函数的实部为偶函数其频谱函数的虚部为奇函数()xt即：当为实函数，其频谱函数的幅度为偶函数其频谱函数的相位为奇函数()xt2）当为实偶函数的情况下()xtRe()()cosxttdtIm()()sinxttdt由：可知：Im()0偶奇()Re()X即：当为实偶函数，其频谱函数为实函数()xt加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：当为实偶函数，其频谱函数为实偶函数()xt()()txtet222()X0)(x(t)()X0t0实偶函数实偶函数例：3）当为实奇函数的情况下()xtRe()()cosxttdtIm()()sinxttdt由：可知：Re()0奇偶()Im()X即：当为实奇函数，其频谱函数为虚函数()xt加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：当为实奇函数，其频谱函数为虚奇函数()xt(0)()(0)atatetxtet222()jXx(t)0()Xjt例：实奇函数虚奇函数3、对偶性若则证明：由傅立叶反变换式Xtx)()(2xtXdeXtxtj)(21)(deXtxtj)(21)(dtetXxtj)(21)(自变量t变成-t将t和ω互换2()()jtxXtedtdtetXxtj)(21)(含义：对进行傅里叶变换，所得频谱函数为()Xt2()x例：)(2)(t111()xt()Xtt例2-10求取样函数的傅立叶变换sin()tSatt解：由式(2-62)可知，宽度为τ，幅度为E的矩形脉冲信号的傅立叶变换为[()]()2FgtESa若取,，则1/2E2[()]()FgtSa由对偶性，得：11[()]2()0FSatgotherwise()gt()()XSa11()Sat2()gt1/211000t1014、尺度变换特性()FxtXaXaatx1)(若则证明略，（p48）含义：在时域上将信号压缩到倍，则在频域上其频谱扩展倍，同时幅度相应地减小到倍。()xt1/aa1/a也就是说，信号波形在时域的压缩意味着在频域中信号频带的展宽；反之，信号波形在时域的扩展，意味着频域中信号频带的压缩时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）x(t/2)0t2(2)X20(2)xt04/4/t12()2X244压缩扩展110图2-50表示了单位矩形脉冲信号尺度变换()前后的时域波形及其频谱。3a2-505、时移特性()FxtX00()jtFxtteX若:则:信号在时域中沿时间轴右移（或左移）则在频域中，信号的幅度频谱不变，而相位频谱产生(或)的变化。(2-92)式（2-92）的含义为：0t0t0t例2-11求图2-46(a)表示的信号的频谱。解:(a)可看成是(b)和(c)所示的信号的组合(a)(b)(c)12155()()()222xtxtxt的频谱函数分别为：12(),()xtxt1()()2XSa23()3()2XSa由线性和时移特性，有:55522212113()()()()3()2222jjjXeXeXeSaSa例：求三脉冲信号的频谱()()()()xtgtgtTgtT()()(1)()(12cos)()(12cos)2jTjTXGeeGTESaT求如下三脉冲信号的频谱函数为P36页的标准矩形脉冲信号()gt解：6、频移特性000[()]()()jtjtjtFxtexteedtX00[()]()jtFxteXXtx)(00)(Xetxtj若:则:证明：由傅立叶变换定义同理有(2-94)(2-94)的含义为：在时域将信号乘以因子，对应于在频域将原信号的频谱右移，即往高频段平移tje000在时域将信号乘以因子，对应于在频域将原信号的频谱左移，即往低频段平移0jte00频谱搬移这种频谱搬移，就是通信工程中常用的幅度调制技术的理论本质幅度调制技术简称调幅技术，即：将被调制信号乘以正弦信号(常称载波信号)，得到调制信号：0cost()xt0()cosxtt0001[()cos][()()]2FxttXX其频谱函数为：原频谱一分为二，各向左、右移动，在移动过程中幅度谱的形式保持不变。()X0举例说明其体现在频谱图上的效果()()2GSa00()()()()()2222XSaSa为什么要对信号进行调制？？Xtx)(Xjdttxdnnn)(7、微分特性若:则:证明：由傅立叶反变换定义deXtxtj)(21)(两边对t求导，有：()1()2jtdxtXjeddt以此类推，有：Xjdttxdnnn)(()[]()dxtFjXdt所以有：例：求三角脉冲的频谱()xt220t方法一：代入定义计算方法二：利用微分性质计算()xt220t()dxtdt2222t0微分1144()[]()4jjdxtFSaeedt()[2sin()]44Saj()[]()dxtFjXdt根据微分性质:所以有:21()()[2sin()]()4424XSajSaj2/4408、积分特性若:则:Xtx)(()()(0)()tXxdXj如果，则有:00X()()tXxdj证明:p53自己阅读例：求斜平信号的频谱20000(0)()(0)1()txtttt10t可以看成矩形脉冲的积分2()xt1()xt10t01t1()xt2()xt0t积分由标准矩形脉冲信号的频谱和时移性质，可得的频谱为1()xt0000221001()()()22ttjjttXtSaeSaet由积分性质，可得的频谱为2()xt121()()(0)()XXXj1(0)1X又因为：所以得：00221()()()2tjtXSaej9、帕斯瓦尔定理()()xtXdXdttx22)(21)(若:则:帕斯瓦尔公式表明，对在整个频率范围内积分，可以得到信号的总能量。式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式(2-100)2()X因此，反映了信号的能量相对于频率的分布，称为能量密度谱，简称能谱，即：2()()EX2()X10、卷积定理（1）时域卷积定理若:则:1122()()()()xtXxtX)()()()(2121XXtxtx时域卷积定理表明，两个信号在时域的卷积积分，对应了频域中该两信号频谱的乘积，由此可以把时域的卷积运算转换为频域的乘法运算，简化了运算过程例：求两个矩形脉冲卷积后的频谱1()xt2()xt/4/42//4/42/矩形脉冲的表达式为122//4()()0/4txtxtt它们所对应的频谱为122()()()()2222XXSaSa2212()()()()()2222RXXSaSa由时域卷积定理有：两个矩形脉冲卷积后的结果为：121221/2()()*()()()0/2ttrtxtxtxxtdt/2/21()rt图2-55说明了该例中，各种时域曲线、频谱曲线的对应关系：（2）频域卷积定理若:则:11()()xtX22()()xtX)()(21)()(2121XXtxtx上式表明:两信号在时域的相乘对应于在频域中它们频谱的卷积利用频域卷积定理也可以很容易导出：0001[()]()2()()2jtFxteXX以及:00000[()cos][()]21()()2jtjteeFxttFxtXX和前面提到的频移特性一致