信号与系统-第2章例题

例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?d()10()5()0drtrtettt解：设信号e(t)作用于系统，响应为r(t)d()10()5()0(1)dArtArtAettt原方程两端乘A：d()10()5()0(2)drtArtAettt(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则线性时不变系统例：判断下列两个系统是否为非时变系统。系统1的作用是对输入信号作余弦运算。所以此系统为时不变系统。1112()()rtrt()cos()0rtett系统1：()()cos0rtettt系统2：解：0()()etett110()cos()0rtettt时移t0经过系统()cos()etet120()cos()0rtettt经过系统时移t00t(0)(0)(2)ree现在的响应=现在的激励+以前的激励所以该系统为因果系统。所以该系统为非因果系统。0t(0)(0)(2)ree未来的激励解：解：()()(2)rtetet微分方程所代表的系统是否是因果系统例：()()(2)rtetet微分方程所代表的系统是否是因果系统例：电感电阻1()()RitvtR1()()dtLitvL电容d()()dCvtitCt根据KCLS()()()()RLCitititit代入上面元件伏安关系，并化简有2S2d()d()1d()1()ddditvtvtCvttRtLt例：求并联电路的端电压与激励间的关系。()vt()sitCR()sitL()vtRiCiLi解：用消元法求得。C1R2R()sitL()Lit1()ut2111111(1)LCSLLpRiuuuRCpuiiR211212121212()1/1/()1/SLSRLpRRpuiLpRRpCRpCiiLpRRpC解：例：列写与的微分方程。()vt1()Lit22()6()5()tddytytytedtdt(0)'(0)0yy2650512()tthytCeCe解:齐次方程为特征方程：特征根：该方程的齐次解为：1251，22()6()5()0ddytytytdtdt()tpytCte激励函数中a=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：例：求微分方程的完全解例1已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y’(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttftytyty0862ss4221ss，ttheKeKty3221)(——特征根为齐次解yh(t)解(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为2)求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得A=5/2，B=11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0('BAy0,3161125)(42teeetyttt讨论1)若初始条件不变，输入信号f(t)=sintu(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y’(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）d()3()3()drtrttt(0)(0)rr已知求，例：相对单位跳变函数到表示00:tu该过程可借助数学描述冲激函数匹配法确定初始条件2222dddd()7()10()()6()4()dddd4d()(0)(0)0,5dd(0)(0)drtrtrtetetetttttetrrtrrt解：将e(t)代入微分方程，t≥0得22dd()7()10()ddrtrtrttt2()12()8()ttut冲激函数匹配法例：描述LTIS的微分方程为输入如图，已知用冲激函数匹配法求例：求系统的零输入响应22()3()2()0,(0)1,'(0)2ddytytytyydtdt解：特征方程02322,121特征根ttzieCeCty221)(零输入响应1212(0)1'(0)22yCCyCC由起始条件0,34)(2ziteetytt得零输入响应为对系统线性的进一步认识例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为()et时，其全响应为31()2esin(2)()trttut；当激励为2()et时，其全响应为32()e2sin(2)()trttut。求：(1)初始条件不变，当激励为0()ett时的全响应3()rt，0t为大于零的实常数。(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5()et时的全响应4()rt。31zizs()()()2esin(2)()trtrtrttut32zizs()()2()[e2sin(2)]()trtrtrttut3zizs0()()()rtrtrtt03()3003e()[esin(22)]()tttutttutt4zizs()2()0.5()rtrtrt3323e()0.5esin(2)()ttuttut解得3zi()3e()trtut3zs()[esin(2)]()trttut冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。例：已知某线性非时变系统的动态方程式为()3()2()(0)dytytfttdt试求系统的冲激响应h(t)。解根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为()3()2()(0)dhthtttdt30特征根λ1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有33333[()]3()2()()3()3()2()()2()tttttdAeutAeuttdtAetAeutAeuttAtt即解得A=2，因此，系统的冲激响应为3()2()thteut求导后，对含有δ(t)的项利用冲激信号δ(t)的取样特性进行化简，即[()()]()()()()()()(0)()dftgtftgtftgtdtftgtft例：求系统的零输入响应22()3()2()0,(0)1,'(0)2ddytytytyydtdt解：特征方程02322,121特征根ttzieCeCty221)(零输入响应1212(0)1'(0)22yCCyCC由起始条件0,34)(2ziteetytt得零输入响应为零输入响应[解]系统的特征方程为例2已知某线性时不变系统的动态方程式为:系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。)(4)(6522tftydtdydtyd0t0652ss3221ss，ttxeKeKty3221)(——0,56)(32teetyttx——系统的特征根为y(0)=yx(0)=K1+K2=1y'(0)=y'x(0)=2K13K2=3解得K1=6，K2=5例3已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)=1，求系统的零输入响应yx(t)。[解]系统的特征方程为)(32)(4422tfdtfdtydtdydtyd0442ss221ssttxteKeKty2221)(——0,5)(22tteetyttx系统的特征根为（两相等实根）y(0)=yx(0)=K1=1;y'(0)=y'x(0)=2K1+K2=3解得K1=1,K2=5例4已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。)(34)(5222tfdtfdtydtdydtyd•[解]系统的特征方程为系统的特征根为0522ssjsjs212121，)2sin2cos)(21tKtKetytx（y(0)=yx(0)=K1=1y'(0)=y'x(0)=K1+2K2=3解得K1=1，K2=20),2sin22(cos)(tttetytx例5已知某LTI系统的动态方程式为y´(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=2e3tu(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。dthfthtftyf)()()()()(dtueut)(2)(3=)(3000d2e3=0)-3(-tttt[解]000)1(2=3ttet)()2(1=3tuet例1已知某线性时不变系统的动态方程式为试求系统的单位冲激响应。0),(2)(3)(ttftydttdy解：当f(t)=(t)时,y(t)=h(t),即)(2)(3)(tthdttdh动态方程式的特征根s=3,且nm,故h(t)的形式为)()(t3tuAeth)(2)(3+])([33ttuAetuAedtdtt解得A=2)(2)(3tuetht例2已知某线性时不变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应。解：当f(t)=(t)时,y(t)=h(t),即)('3)(2)(6)(ttthdttdh动态方程式的特征根s=6,且n=m,故h(t)的形式为)()()(t6tBtuAeth解得A=16,B=30),('3)(2)(6)(ttftftydttdy)('3)(2)]()(6[+])()([66tttBtuAetBtuAedtdtt)(16)(3)(t6tuetth)(tft)(tht)(h)()(thft)()(),()(),(*)(tuethtutfthtft计算)(f)(h01)(*)(0)(tedethtfttt例1例2：计算y(t)=p1(t)p1(t)。)()(11tpp0.5t5.0t5.01?t1t5.0t5.0)()(11tpp01t1a)t1b)1t0tdttyt1)(5.05.0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0t5.0t5.0)()(11tpp10?t1t5.0t5.0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc)0t1tdttyt1)(5.05.0d)1ty(t)=0练习1：u(t)u(t)练习2：计算y(t)=f(t)h(t)。)(tft101)(tht201)(tyt20113tt3=r(t)例：利用位移特性及u