金融经济学典型例题解析

性质1：如果,01,(1)(1)pqabbpbqapaq则性质2：如果***,,[0,1],..(1)pqrprastqapar则存在唯一性性质3：如果,,[0,1],(1)(1)pqrsaaparaqas性质4：如果,[0,1],(1)pqapapaq则性质5：如果,[0,1],,(1)(1)pqarparaqar则对于有a不确定偏好关系的性质证明1：由独立性公理，,,[0,1],,(1)(1)pqapqpapapapaq对于如果则有:(0,1],对再次由独立性公理:(1)[(1)][(1)](1)[(1)]papaqapaqapaq:(1)[(1)](1)papaqapaq即,011baaba由于是任意的,可令其中(1)[(1)](1)11babaapaqapaqaa即::(1)(1)bpbpapaq即性质2：如果***,,[0,1],..(1)pqrprastqapar则存在唯一性证明：存在性：由阿基米德公理，对于***,,,,,(0,1),:(1)inf[(1)],(0,1)(1),(0,1),..(1)pqrpqrpraaparqaaparqasaparsqbstbsbrq如果则存在使得令令=假设则存在唯一性：假定存在12aa，满足1122121122(1),(1)1:(1)(1)qaparqaparaaqaparaparq不失一般性,假设由性质矛盾*******(1)(1)/,(1)bapbarbrqbaaasqsqsqqapar即:而与的定义矛盾,因此:且即因此:证明3由独立性公理，对于：,,,(0,1],,:(1)(1)pqrapraparaqar如果那么(1)(1)aqaraqas再此由独立性公理:(1)(1)aparaqas再由偏好的传递性性质4：如果,[0,1],(1)pqapapaq则证明：,[0,1](1)(1)(1):(1)pqpqqpapapapapaqapapppapaq由且对由独立性公理得:所以性质5:如果,[0,1],,(1)(1)pqarparaqar则对于有a证明：,[0,1](1)(1)(1):(1)(1)pqpqqparaparaqaraparaparaqar由且对由独立性公理,对于,得:因此有作业1•假设投资者面临如下所示的一个赌博，假设他的初始财富为10，其效用函数为对数函数，计算这个投资者的为避免赌博而愿意缴纳的罚金以及他的确定性等价财富，并分析说明罚金和确定性等价财富的经济意义。10元5元30元第一种方法：•根据未来财富状况，我们可以假设投资者参与了一个公平赌局.•在这里，公平赌局的不同状态变量分别为（-5，20），分布概率为（0.8，0.2)•根据风险补偿计算公式：•此方法严格意义上不能算错的第二种方法•首先计算出未来不同状态财富的期望效用水平120.20.20.8ln()0.2ln()[()][()]0.8ln50.2ln30ln(56)56107.1552.845wwEuwEuw即即=10-作业2•一个彩票，可能以概率0.2赢900元，也可能以0.8输100元，消费者的效用函数形式为u=w,问消费者愿拿出多少钱去买这张彩票？其风险升水是多少？•答：首先，投资者如果参与这个公平博局，其应支付的参会费为100元•由于投资者的效用函数为线性函数，即投资者属于风险中性的，不需要进行补偿。两项基金的货币分离：定义：如果市场上的投资者选择的优化投资组合都是两项基金的组合，其中一项是无风险资产（视为货币基金），另一项则是全部由风险资产组成的投资组合，这样的现象称为两项基金的货币分离。设投资者的初始财富为w，投资于无风险资产的货币金额为0a，投资于风险资产的货币金额为(1,2,,)kakN，记0a为无风险资产金额占总资产的比例，则第k种风险资产占风险资产的比例为：00(1)kkkaaawawa，则有11Nkka即投资者的组合收益为：001(1)Nfkkkraraar两基金货币分离的本质在于：优化组合取决于在无风险资产和风险资产的分配比例，而构建的风险资产组合的构成比例不会发生变化。定理6.9：存在两项基金的货币分离的充分而必要条件是：对每一位投资者而言，效用函数的一阶导数都具有以下形式：()()iiiuww其中：,0ii，1，并且对于所有的投资者相同。证明：当投资者实现最优组合时，满足：[()()]0(1,2,,)ikfEuwrrkN将()()iiiuww代入，则有：01[((1)(1)]()0(1,2,,)NiifkkkfkEararrrkN第一种情况：若0i，由于0i，则有：01[(1)(1)]()0NfkkkfkEararrr即优化求解的过程与,ii均没有要求，与个人投资者无关。即不管那个投资者，都会采用相同的两项基金的货币分离的投资形式，因此两项基金的货币分离显然存在。第二种情况：若0i，定义0000(1)(1)(1)iiifififararaar即01[((1)(1)]()0(1,2,,)NiifkkkfkEararrrkN可转化为：01[(1)(1)]()0NfkkkfkEararrr（1）我们定义一个新的w，使得：01Nkkaaw，由于00(1)iifaar，即(1)iifwwr我们定义一个新的w，使得：01Nkkaaw，由于00(1)iifaar，即(1)iifwwr式（1）仍然满足投资者效用最大化时的最优决策条件。但这里需要注意的是：对于不同的投资者，其投资于风险资产的构成发生了变化，即为0(1)iifar，而风险资产ka在最优化时构成比例仍未发生变化。这说明投资者在进行最优化时，最优的分配决策取决于无风险资产的分配资金比例差异，而风险资产组合构成的比例则不发生变化。思考：投资者在进行风险投资时：•（1）如果投资者的风险厌恶加大，投资者是否会加大对无风险资产的投资？•（2）如果投资者的相对风险厌恶是递增的（或至少保持为常数），投资者是否会加大将自己的初始财富投资于无风险资产的比例？在单项风险资产条件下，上述两个结论都是成立的。但若存在无风险资产或存在多项风险资产，则上述结论不一定成立。投资者可以通过调整投资于无风险资产和风险资产之间的比例来改变自己的投资组合的预期收益和风险特征也可以通过调整风险组合中不同风险资产的比例来实现。但若存在两项基金的货币分离，则上述两条结论一定成立。