解直角三角形知识点

1一、锐角三角函数的定义：在RTABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则：sinAaAc的对边斜边cosAbAc的邻边斜边tanAaAAb的对边的邻边cotAbAAa的邻边的对边常用变形：sinacA；sinacA等，由同学们自行归纳。二、锐角三角函数的有关性质：1、当0°∠A90°时，0sin1A；0cos1A；tan0A；cot0A2、在0°90°之间，正弦、正切（sin、tan）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos、cot）的值，随角度的增大而减小。三、同角三角函数的关系：22sincos1AAtancot1AAsintancosAAAcoscotsinAAA常用变形：2sin1cosAA2cos1sinAA（用定义证明，易得，同学自行完成）四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图1，由定义可得：sincoscos(90)aABAc同理可得：sincos(90)AAcossin(90)AAtancot(90)AAcottan(90)AA五、特殊角的三角函数值：三角函数sincostancot30°123233345°22221160°3212333六、解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型已知条件解法两边两直角边a、b22cab，tanaAb，90BA直角边a，斜边c22bca，sinaAc，90BA一边一锐角直角边a，锐角A90BA，cotbaA，sinacA斜边c，锐角A90BA，sinacA，cosbcA60°30°321BCA45°222BCA2七、三角形的面积公式：已知ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，如图2，过点A作AD⊥BC于点D。在RTABD中，sinADBAB，即：sinADABB（sinADcB）111sinsin222ABCSBCADacBacB（其中：∠B为a、c的夹角）同理可得：111sinsinsin222ABCSacBbcAabC（三角形的面积公式）由面积公式可得：11sinsin22acBbcA两边同时除于12c得：sinsinsinsinabaBbAAB同理可得，正弦公式：sinsinsinabcABC八、余弦定理如图2：sinADbC，cosBDBCCDabC，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：222222(sin)(cos)ABADBDcbCabC整理得：2222222222sin2coscos(sincos)2coscbCaabCbCbCCaabC2222coscbaabC整理得到余弦定理：2222coscababC（∠C为a、b的夹角）同理可得：（余弦定理及其变形）2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac2222coscababC222cos2abcCab九、三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位1）如图3，sinyyr同理可得：cosx，tanyx，cotxy如图4，也可以得到相同的结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。3DABC十、三角函数与相似：如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：3.2cos610ADABxxAAEACsinDEBCAAEAC如图6，6tan48DEBCxAAEAB备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些十一、相似与直角三角形的射影定理：直角三角形射影定理：2CDADBD2ACADAB2BCBDAB2tantanCDBDABCDCDADBDADCD2cosACADAACADABABAC2cosBCBDBBCBDABABBC十二、三角函数与一次函数设一次函数ykxb经过点11(,)Axy与22(,)Bxy那么我们可以列出方程组：1122ykxbykxb则可以得到：2121yykxx如下图所示：tankααy2-y1x2-x1y2y1x2x1B(x2,y2)A(x1,y1)O