群论-三维转动群

物理学中的群论物理学中的群论——三维转动群三维转动群主讲翦知渐群论-三维转动群第四章三维转动群第四章三维转动群三维转动群的表示§4.1拓扑群和李群维转动群的表示§拓扑群和李群§42轴转动群SO(2)§4.2轴转动群SO(2)§4.3三维转动群SO(3)§4.4二维特殊幺正群SU(2)群论-三维转动群-拓扑群和李群§4.1拓扑群和李群连续群的基本概念1拓扑群连续群的基本概念无限群分为分立无限群和连续无限群有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立„定义4.1连续群的维数连续群G的元素由一组实参数a1,a2,…,an所标明其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的则该组参数中连续参数的个数l称为连续群的维数。在具体的群中，参数的取法可能不唯一群论-三维转动群-拓扑群和李群例子如下的线性变换T(a,b)例子x'=T(a,b)x=ax+b,a,b∈(-∞,+∞),a≠0构成的集合，定义其上的乘法为：T(b)T(b)T(b+b)T(a1,b1)T(a2,b2)x=T(a1a2,a1b2+b1)x，封闭律是显然的封闭律是显然的逆元素为T-1(a,b)=T(1/a,-b/a)，单位元是T(1,0)结合律也容易证明结合律也容易证明因此{T(a,b)}构成一个连续群。因此{T(a,b)}构成个连续群。群论-三维转动群-拓扑群和李群由于群元素的连续性质需要在群中引入拓扑由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑简单地说，拓扑是一个集合以及它的子集族简单说拓扑是个集子集族拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质为简单起见，我们仅讨论其元素可与l维实内积空间的某个子集S有一一对应关系的群集Sl有对应关系的群该子集称为参数空间„定义4.2拓扑群群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群群论-三维转动群-拓扑群和李群乘法法则的连续性：对于任意x1x2=x3,则x1与x2邻域中的所有元素相乘均属于x3的邻域。3取逆法则的连续性：对于任意元素x，其邻域中的任何元素的逆均属于其逆1的邻域逆均属于其逆x-1的邻域。x2xx1x3x-1(b)取逆法则的连续性(a)乘法的连续性(b)取逆法则的连续性(a)乘法的连续性群论-三维转动群-拓扑群和李群„定义4.3简单群和混合群拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群该群称为连通群或简单群。若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。„定义4.4多重连通群简单群根据其参数空间的拓扑，进一步分为单连通和多连通的。若任意群元在参数空间中的连通道路恰有k条，并且它们不能通过在参数空间内部的连续形变而重合则称该群为k重不能通过在参数空间内部的连续形变而重合，则称该群为k重连通。k称为连通度。„定义4.5紧致群若拓扑群的参数空间是紧致空间，即闭而有界的空间，则该若拓扑群的参数间是紧致间即闭而有界的间则该群称为紧致群。群论-三维转动群-拓扑群和李群1李群„定义4.6李群l维拓扑群G的任意两个元素x1(a1a2al)，x2(b1b2bl)的l维拓扑群G的任意两个元素x1(a1,a2,…,al)，x2(b1,b2,…,bl)的乘法运算和取逆运算为：x1x2=x3(c1,c2,…,cl),x1-1=x4(d1,d2,…,dl),参数之间的关系称为组合函数参数之间的关系称为组合函数：ci=ci(a1,a2,…,al；b1,b2,…,bl)，di=di(a1a2al)，i=12l。didi(a1,a2,…,al)，i1,2,…l。若以上组合函数均为解析函数，则该群称为李群。由于李群的组合函数是解析的，微积分的整套工具都可以用来研究李群这使得李群成为研究最成功最深入的无限群来研究李群，这使得李群成为研究最成功最深入的无限群群论-三维转动群-拓扑群和李群群的诸多概念（子群、同态、表示、特征标……）同样是李群的基本概念李群表示的每一个矩阵元和特征标在参数空间中（测度不为零的区域内）都是群参数的单值连续函数零的区域内）都是群参数的单值连续函数。李群中单位元的参数可以选择为零李群中单位元的参数可以选择为零单位元邻域中的元素，其参数是无穷小量，称为无穷小元素无穷小元素与极限过程或微分运算有关，不一定是参数很小无穷小元素决定了李群的局域性质群论-三维转动群-拓扑群和李群无穷小元素与任意元素相乘得到该元素邻近的一个元素把无穷多个无穷小元素相继作用到该群元上，可以得到从该群元出发的一条连续曲线简单李群中单位元与任意群元都是连通的，则通过无穷小元素的连续相乘可以从单位元得到任意群元素的连续相乘可以从单位元得到任意群元混合李群，在每一片参数区中都需要先确定一个特定元素，然后通过无穷小元素相乘可得到该参数区中的任意元素群论-三维转动群-拓扑群和李群对于紧致连续群的连续表示（连续群可以有不连续的表示对于紧致连续群的连续表示（连续群可以有不连续的表示，比如O(3)群与{1,-1}同态），有以下基本结论：任一连续表示都有等价的幺正表示；任一幺正表示都是完全可约的；不可约表示都是有限维的。混合李群中，参数空间包含单位元的那个连续片的对应元素的集合构成该混合李群的不变子群（它是一个简单李群），的集合构成该混合李群的不变子群（它是个简单李群），其他元素片对应元素的集合构成该不变子群的陪集混合李群的性质完全由简单李群（不变子群）和每一连续片中一个代表元素的性质确定。故重点只需研究简单李群的性质故重点只需研究简单李群的性质群论-三维转动群-拓扑群和李群„定义47李群的生成元„定义4.7李群的生成元李群G的单位元为e≡x(0,0,…,0)其邻域的元素e(0ε0)精确到一级近似可写为：其邻域的元素e(0,…εj,…,0)精确到级近似可写为：e(0,…εj,…,0)≈x(0,…,0)+iεjIj(0,…,0)，Ij称为微分微量算符，可由求极限得到：Ij称为微分微量算符，可由求极限得到：()()01lim[0,,,,00,,0]jjjIxxi→=……−…εεε引入虚数i的原因是为了使得Ij是厄密算符。0jji→εεjl个算符Ij(1≤j≤l)只需定义在单位元附近，它们决定了李群的全部性质称群的生——称为李群的生成元。对于简单李群任意群元可以由生成元相继运用乘法得到对于简单李群，任意群元可以由生成元相继运用乘法得到。群论-三维转动群-拓扑群和李群为了得到群元(00)把写为NN是个大整为了得到群元x(0,…aj,…,0)，把aj写为aj=Nεj，N是一个大整数，使得εj是一个小量。忽略2次以上高阶项，有等式()()2⎡⎤于是：()()20,,,,00,,02(0,,0)jjjxxiI⎡⎤……=…+…⎣⎦εε()()0000Nxax⎡⎤=⎣⎦ε()()0,,,,00,,,,0jjxax⎡⎤……=……⎣⎦ε[][]jNNaeiIeiI=+=+让N趋向无穷并利用代数恒等式形式上有[][]jjjeiIeiIN++lim(1/)exp()NNxNx+=形式上有：N→∞()0,,,,0exp()jjjxaiaI……=把上述结果推广到群的一般元素有：()jjj()()liI∑()121,,,exp()ljjjxaaaiaI=…=∑群论-三维转动群-轴转动群SO(2)§4.2轴转动群SO(2)最简单的连续群1二维转动群„SO(2)群的定义„SO(2)群的定义SO(2)群是绕固定轴的转动形成的集合。该集合元素只用一个参数标记，可以选定区间[02π]上取值的转动角，而转个参数标记，可以选定区间[0,2π]上取值的转动角，而转动记为T()。乘法规则：()()()2Tφ+φ+⎧φ⎨θθπθ当单位元为T(0)逆元T()1T(2)该群为单参数连续()()()()22TTTφφ⎧φ=⎨φ+−φ+≥⎩θθπθπ当当单位元为T(0)，逆元T()-1=T(2π-)。该群为单参数、连续、连通、阿贝尔、紧致李群。若选择整个实数轴为参数，则每个群元对应无穷多参数，对若选择整个实数轴为参数，则每个群元对应无穷多参数，对应无穷多个区间：[0,2π]，[2π,4π]……此时群是无穷多重连通的，有无穷多条道路连接任意两个元素，这些道路不能经由变形互相转换——绕n圈和n+1圈不一样群论-三维转动群-轴转动群SO(2)„SO(2)群的表示„SO(2)群的表示1)平面内的笛卡尔坐标系(x,y)在SO(2)群的旋转下的变换，)平面内的笛卡尔标系(,y)在()群的旋转下的变换可以生成群的表示：()cossinT−⎡⎤=⎢⎥θθθ2)轴转动群是阿贝尔群其所有不可约表示都是一维的也()sincosT=⎢⎥⎣⎦θθθ2)轴转动群是阿贝尔群，其所有不可约表示都是维的，也就是说它的表示矩阵本身就是其特征标，满足该群乘法的一维数（1×1矩阵）形为：T()=exp(c)，c为复数。因为T(2π)=e（单位元），可求出c=im，m为整数所以它的不可约表示为数。所以它的不可约表示为：T()=exp(im)，每一个固定的m对应一个不可约表示群论-三维转动群-轴转动群SO(2)3)若选择整个实数轴为参数空间此时该群为无穷多重连通3)若选择整个实数轴为参数空间，此时该群为无穷多重连通。此时该群有多值表示：T()=exp(im/k)，()p()k为任意整数，称为SO(2)群的k值表示般而言重连通的李群会有单值双值值表示一般而言，k重连通的李群G会有单值、双值、…，k值表示。对于物理上真实的系统，一般只有单值表示和双值表示„SO(2)的生成元SO(2)是单参数李群，它只有一个生成元。生成元的具体形()具式依赖于SO(2)群的具体形式。不同的SO(2)都是同构的)固定复数集{()()}与()同构1)固定m，复数集{T()=exp(im),∈[0,2π]}与SO(2)同构。它对应的生成元()1li[1]Ii⎧⎫φ⎨⎬()0lim[exp1]Iimmiφ→⎧⎫=φ−=⎨⎬φ⎩⎭群论-三维转动群-轴转动群SO(2)所有行列式为的阶正交矩阵构成群群元为2)所有行列式为1的2阶正交矩阵构成SO(2)群，群元为：()cossinTφ−φ⎡⎤φ=⎢⎥生成元为：()sincosTφ=⎢⎥φφ⎣⎦0cossin101limsincos01Iiφ→⎡⎤⎧φ−φ⎫⎡⎤⎡⎤=−⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥φφφ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦sincos01iφφφφ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦0i−⎡⎤=−=−⎢⎥σ与泡利矩阵相差一个负号。故一般的群元可以写为：0yi⎢⎥⎣⎦σT()=exp(-iσy)群论-三维转动群-轴转动群SO(2)3)一半径为a的圆，x为沿圆周的长度，f(x)为定义在圆周上的3)半径为a的圆，x为沿圆周的长度，f(x)为定义在圆周上的函数，T()为绕通过圆心与圆平面垂直的轴转动角，即T()f(x)=f(x-a)，由定义可得生成元I：⎧⎫()()()01lim()IfxTfxfxiφ→⎧⎫=φ−⎡⎤⎨⎬⎣⎦φ⎩⎭⎧⎫[]01lim()()fxafxiφ→⎧⎫=−φ−⎨⎬φ⎩⎭∂即生成元为()()xapiafxfxx∂==−∂=它正比于量子力学中的动量算符pxapI=−=它正比于量子力学中的动量算符px故此时SO(2)的一般群元可表示为：T()=exp(-iapx/ħ)T()exp(iapx/ħ)它实际上是标量函数的变换算符群论-三维转动群-轴转动群SO(2)4)若转动轴为z轴，而T()是一个作用在函数f(x,y)上的转动变换，函数f(x,y)定义于(x,y)平面上：T()f(x,y)=f(xcos+ysin,-xsin+ycos)由定义易求得生成元：I=-Lz/ħ，zLz为垂直于xy平面的角动量分量算符：()Li∂∂=转动角度的元素表示为：()zLiyxxy=−∂∂=转动角度的元素表示为：T()=exp(-iLz/ħ)群论-三维转动群-三维转动群SO(3)§4.3三