高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线

高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线1/134.2三角形“五心”的向量表示（二）旁心IA满足0sinsinsinCICBIBAIAAAA例题1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2a=b+c.O，I分别为其外心和内心，求证：OI⊥AI.证明.02221212··1··2·1····22222222222cbaacbbccbacbbccbaacbbccbAOACcAOABbcbaACACcACABbcABABbcbaAOACcbacABcbabACcbacABcbabACcbacABcbabAOAIAIOIAI因而原命题得证.习题1如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且abc.D、E分别在边AB、AC上，且BD=CE=a，O，I分别为其外心和内心，求证：OI⊥DE.习题2如图，O、G、I分别为三角形ABC的外心、重心、内心，且AG⊥OI，求证：acb211.高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线2/135.1圆锥曲线初步一、平行四边形中的一些结论①在平行四边形ABCD中，对角线的平方和为边的平方和的两倍，即②在此基础上，得出中线长公式：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，M为BC的中点，则有|AM|③共起点O，终点分别为A,B，则向量三角形为△OAB，由得出向量三角形，平行四边形面积公式：二、硬解定理设直线AB的方程为，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点.联立直线与椭圆，可得必使弦长|AB|为点O到直线的距离为，则△AOB的面积为高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线3/13≤当且仅当，即时，取等号.三、仿射变换在求△OAB面积最大值的问题中，若椭圆特殊为圆，那么，当OA⊥OB时等号成立.那么对于椭圆，我们设，在新的坐标系下得到所以面积取到最大值时，即也就是四、垂径定理已知不过原点O的直线与椭圆交于A，B两点，M为弦AB的中点，则直线高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线4/13AB与直线OM的斜率之积注一：当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二：这里并不要求ab，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三：双曲线的垂径定理中的斜率之积五、切线公式在任意二次曲线上一点P(x0,y0)处的切线方程为：六、面积公式由有向线段和围成的△OAB的有向面积例题设a1,a2,a3,a4∈R，且=1,记f(a1,a2,a3,a4)=，求f(a1,a2,a3,a4)的最小值。解设，记，则高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线5/13≥2≥.6.1阿波罗尼斯圆动点P(x,y)到定点F1(-c,0),F2(c,0)的距离之比为λ.(c,λ为正数)，则P点的轨迹方程讨论：高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线6/131.当时，即,P点轨迹为直线(F1F2的中垂线)2.当时，判定轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆进一步，对于圆锥曲线有:动点P到动点F与定直线l的距离之比为定值λ.则动点P的轨迹是二次曲线.其中λ即圆锥曲线的离心率e.快速判断直径，圆心的方法：过P作内外角平分线分别交直线F1F2于T，D，则根据角平分线性质容易得到TD为直径.即：在F1F2上找到一对调和分比点T，D(根据比例可以快速判断)，TD中点即圆心.另：角平分线性质：例题求满足条件BC=2，的△ABC的面积的最大值。解S△ABC≤其实不难发现通式习题1已知两定点A(-2,0),B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹所包围的面积.习题2已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a,且|b|=|b-c|，若对于每个确定的向量b，记|b-ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为？高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线7/137.1托勒密定理平面上四边形的四边与对角线满足关系：对角线的乘积不超过两组对边分别相乘乘积之和，当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等.例题1已知△ABC满足，，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是？静态观察（解法一）易知△ABC为等边三角形，如图，设MA=x，AB=BC=CA=t，那么由左右两图分别应用托勒密定理可得于是1≤x≤3.由于两侧等号均能取得（如图），又根据图形连续变化，因此MA的取值范围是[1,3].动态探索（解法二）如图，先固定B，M，使得BM=2，然后让C在半径为1的圆M上运动，观察A点的轨迹（暂时忽略M在△ABC外的条件）.由平面几何知识容易得到A的轨迹是圆M绕点B旋转60°后得到的圆N，据此容易求得MA的取值范围是[1,3]（注意取得最值时M均在△ABC外部）.例题2已知椭圆，P在椭圆上，求P点到G点的距离的最大值.解根据托勒密定理有|PG|·2c≤2a|GF1||PG|≤当且仅当P，F1，F2，G四点共圆时等号取得.易知等号可以取得.此时PG垂直过P的高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线8/13切线l，且PG平分∠F1PF2，这里用到了一个二级结论：圆锥曲线上一点的切线为该点与焦点组成的焦点三角形的外角平分线.同时证明了取得最大值时,PG总在PF1，PF2之间，也即构成凸四边形，从而可以利用托勒密定理.进一步思考，当离心率为时，这种做法只适用于G点在短轴上时，（此时GF1F2的外接圆与椭圆有交点）；若G在短轴所在直线上（不在短轴上），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到.更一般的表述：这种做法只适用于G点在短轴所在直线上时，（且此时GF1F2的外接圆与椭圆的另半部分有交点）；若G在短轴所在直线上（且此时GF1F2的外接圆与椭圆另半部分没有交点），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到.其中“椭圆另半部分”是指，当G在x轴一侧时，x轴另一侧的椭圆曲线被称为“椭圆另半部分”.其他情况，利用二次函数最值求解.高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线9/13cbaθCBAOOBOA8.1向量叉乘注：本节中，向量用黑体表示在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便问题的解决。1.叉乘的定义要确定一个向量，需要知道它的模和方向。如图1，对于给定的向量a和b，规定向量c=a×b，满足：（1）模：|c|=|a||b|sin（2）方向：向量c的方向垂直于向量a和b，且符合右手定则：用右手的食指表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ∈[0,π]到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。这里的θ也就是。这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。2.叉乘的性质（1）显然有a×a=0（2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即a×b=b×a，这是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足0≤θ≤π，也就使得积向量反向。（3）易得对数乘的结合律，即(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)（4）可以证明分配律：(a+b)×c=a×c+b×c或a×(b+c)=a×b+a×c3.叉乘的几何意义如图，在平面上取点O，作=a，=b，|a×b|=|a||b|sin，由三角形面积公式sinθ可知|a×b|表示以OA,OB为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是以OA,OB为两边的平行四边形的面积。高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线10/13kjizyxO即|a×b|=2S△OAB=SOABC4.叉乘的坐标表示将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基——单位正交基底出发。给定一组单位正交基底{i,j,k}，为满足运算要求，应使i,j,k符合右手定则，即建立一个右手系，如图。高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线11/13d(C,AB)（3）求平面的法向量由于向量叉乘运算c=a×b中c⊥a且c⊥b，由立体几何知识可知，如果选取一个平面内两个不共线的向量，计算它们的叉乘，那么其积向量就可以作为平面的法向量。正是由于法向量在立体几何中的广泛应用，这种方法也就可以大展身手。【例3】ABCD为边长为4的正方形，GC⊥平面ABCD，GC=2，E、F分别是AD、AB的中点，求点B到平面EFG的距离。【分析】这是高中数学的常见问题。按照常规做法，应利用数量积求出平面GEF的法向量，再利用点到平面距离公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF的法向量。下面列出两种解法，以供比较。【解法1】A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(4,2,0),F(2,4,0),G(0,0,2)。设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)，则n·=n·=(x,y,z)·(2,2,0)=(x,y,z)·(2,4,2)=0∴3x=3y=z令x=1，则y=1，z=3∴n=(1,1,3)∴d(B,EFG)【解法2】空间直角坐标系的建立同解法1.∵=(2,2,0),=(2,4,2)∴平面EFG的法向量为n=×θI,LB高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线12/13=()∴d(B,EFG)６.叉乘的物理意义正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系，下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为例作简要说明。如图，在磁感应强度为B，方向水平向左的匀强磁场中，有一段长为L的导线通有电流强度为I的电流，导线与磁场成角θ。由物理学规律可知F=BILsinθ。从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度I被定义为标量，但由于电流有方向，不妨把I理解为矢量I，则|F|=|B||I|Lsinθ。又F垂直于B和L所成的平面，且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”），故F=L(I×B)这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密结合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。总之，在高中数学所学知识的基础之上，引入向量的叉乘运算，又一次拓展了同学们的视野，令人感受到数学的无穷魅力。9.1巴普斯定理1、在一平面上取任一闭合区域，其面积为S，使它沿垂直于该区域的平面运动形成一个体积为V的立体，那么这个立体图形的体积就等于质心所经路程r乘以区域面积。表达式为V=S·r。2、若有某一长为L的曲线段，使它沿着垂直于它所在平面的方向扫过一个面积S，那么这个面积的大小就等于线段移动的距离r乘以线段的长度。表达式为S=L·r。注：是质心，而不是重心，求半圆面质心，因为除非重力场是均匀的，否则同一物质（系统）的质心与重心通常不在同一假想点上。用法1求半圆面质心令半圆面绕着它的直径旋转形成一个球体，假设半圆面的半径为R，那么它的面积即为所得球体体积为高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线13/13又设质心离半圆面的圆心距离为X，则质心旋转一周经过的路程为L=2πX，由巴普斯定理得所以用法2求圆环体表面积圆心O距中心轴M的长度为R，圆O半径为r，则圆O周长为C=2πr将它沿垂直于其所在平面的方向绕M轴一周后质心O移动路程2πR，所以旋转得到的空心圆环体的表面积为习题1在xOy平面上，将两个半圆弧和，两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过作Ω的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理，一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积。