2013年陕西高考文科数学试题及答案

12013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学注意事项:1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设全集为R,函数()1fxx的定义域为M，则CMR为(A)(－∞,1)(B)(1,+∞)(C)(,1](D)[1,)2.已知向量(1,),(,2)ambm，若a//b，则实数m等于(A)2(B)2(C)2或2(D)03.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是(A)·logloglogaccbab(B)·loglologgaaabab(C)()logogglloaaabcbc(D)()loggogollaaabbcc4.根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为(A)25(B)30(C)31(D)614.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率为(A)0.09(B)0.20(C)0.25(D)0.456.设z是复数,则下列命题中的假．命题是(A)若20z,则z是实数(B)若20z,则z是虚数(C)若z是虚数,则20z(D)若z是纯虚数,则20z7.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x－y的最小值为(A)－6(B)－2(C)0(D)2输入xIfx≤50Theny=0.5*xElsey=25+0.6*(x-50)EndIf输出y28.已知点M(a,b)在圆221:Oxy外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(A)相切(B)相交(C)相离(D)不确定9设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若coscossinbCcBaA,则△ABC的形状为(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)不确定10.设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有(A)[－x]=－[x](B)[x+12]=[x](C)[2x]=2[x](D)1[][][2]2xxx二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.双曲线221169xy的离心率为.12.某几何体的三视图如图所示,则其表．面积为.13.观察下列等式:23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135…照此规律,第n个等式可为.14.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).15.(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)设a,b∈R,|a－b|2,则关于实数x的不等式||||2xaxb的解集是.B.(几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知AC,PD=2DA=2,则PE=.C.(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线22xtyt(t为参数)的焦点坐标是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.(本小题满分12分)已知向量1(cos,),(3sin,cos2),2xxxxabR,设函数()·fxab.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.(Ⅱ)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.DBCEPA40mx40m317.(本小题满分12分)设Sn表示数列{}na的前n项和.(Ⅰ)若{}na为等差数列,推导Sn的计算公式;(Ⅱ)若11,0aq,且对所有正整数n,有11nnqSq.判断{}na是否为等比数列.18.(本小题满分12分)如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,12ABAA.OD1B1C1DACBA1(Ⅰ)证明:A1BD//平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.19.(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次,根据年龄将大众评委分为5组,各组的人数如下:组别ABCDE人数5010015015050(Ⅰ)为了调查评委对7位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(Ⅱ)在(Ⅰ)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.20.(本小题满分13分)4已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.21.(本小题满分14分)已知函数()e,xfxxR.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线2112yxx有唯一公共点.(Ⅲ)设ab,比较2abf与()()fbfaba的大小,并说明理由.5答案：1.B2.C3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A10.D11.4512.313.(1)(2)(3)()213(21)nnnnnnn14.2015.(－∞,﹢∞)B.6C(1,0)16【解】()·fxab=)62sin(2cos212sin232cos21sin3cosxxxxxx。最小正周期22T。所以),62sin()(xxf最小正周期为。(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin]65,6-[)62(]2,0[xyxx.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(ffxxf.所以，f(x)在0,2上的最大值和最小值分别为21,1.17【解】(Ⅰ)设公差为d,则dnaan)1(1)()()()(2111121121121aaaaaaaaSaaaaSaaaaSnnnnnnnnnnn)21(2)()(2111dnanaanSaanSnnnn.(Ⅱ)1,011qqa由题知，。nnnnnnnnnnqqqqqqqqSSaqqSNn11111111111*，*21111Nnqanqnannnn，.所以,}{na数列是首项11a,公比1q的等比数列。18【解】(Ⅰ)设111ODB线段的中点为.11111111//DBBDDCBAABCDDBBD的对应棱是和.的对应线段是棱柱和同理，111111DCBAABCDOAAO为平行四边形四边形且且11111111//////OCOAOCOAOCOAOCAOOAAO1111111111//,.//BCDBDAODBCOOBDOACOOA面面且.(证毕)(Ⅱ)的高是三棱柱面ABDDBAOAABCDOA11111.在正方形ABCD中,AO=1..111OAOAART中，在611)2(2121111111OASVABDDBAABDABDDBA的体积三棱柱.所以，1111111ABDDBAVABDDBA的体积三棱柱.19【解】(Ⅰ)按相同的比例从不同的组中抽取人数。从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。(Ⅱ)A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为32·B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为62·现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率926232P.所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为92.20.【解】(Ⅰ)点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则134)1(2|4|2222yxyxx.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为13422yx(Ⅱ)P(0,3),设212122113202),,(B),,(Ayyxxyxyx，由题知：椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。3:kxym方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：221221224324,432402424)43kxxkkxxkxxk（232924)43()24(252)(2212221212211221kkkxxxxxxxxxx所以，直线m的斜率23k21.【答案】(Ⅰ)y=x+1.当m)4,0(2e时,有0个公共点；当m=42e,有1个公共点；当m），（42e有2个公共点；(Ⅲ)()()2fafb()()fbfaba(Ⅱ)(Ⅰ)f(x)的反函数xxgln)(,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'k.过点（1,0）的切线方程为：y=x+1(Ⅱ)证明曲线y=f(x)与曲线1212xxy有唯一公共点，过程如下。则令,,121121)()(22Rxxxexxxfxhx0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('hhhexhxhxexhxx，，且的导数因此，单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0xhyxhxxhyxhx0)(,0)0(')('xRxhyhxhy个零点上单调递增，最多有一在所以7所以，曲线y=f(x)与曲线1212xxy只有唯一公共点(0,1).(证毕）(Ⅲ)设)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfafaabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2(令xxxexexxgxexxxg)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则。）上单调递增，在（的导函数0)('所以,0)11()('')('xgexexxgxgxx，且,0)0(,),0()(0)('.0)0('gxgxgg而上单调递增在，因此0)(),0(xg上所以在。