高考数学总复习------ 排列组合与概率统计

1高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：)1()1()!(!mnnnmnnAmn(m≤n)Ann=n!=n(n―1)(n―2)...2·1.②组合数公式：12)1()1()1()!(!!mmmnnnmnmnCmn(m≤n).③组合数性质：①mnnmnCC(m≤n).②nnnnnnCCCC2210③1314202nnnnnnCCCCC2.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C0nan+C1nan－1b+…+Crnan－rbr+…＋Cnnbn，其中各项系数就是组合数Crn，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1=Crnan－rbr.⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项Tr+1=Crnan－rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Crn=Crnn(r=0,1,2,…,n).②若n是偶数，则中间项(第12n项)的二项公式系数最大，其值为C2nn；若n是奇数，则中间两项(第21n项和第23n项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C21nn=C21nn.③所有二项式系数和等于2n，即C0n+C1n＋C2n+…+Cnn=2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，2即C0n+C2n+…=C1n+C3n+…=2n―1.3.概率（1）事件与基本事件：:SSS随机事件在条件下,可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件下,一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：()APA包含的基本事件的个数基本事件的总数．几何概型的概率计算公式：()APA构成事件的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)．两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A的概率()PA的范围为：0()1PA≤≤．②互斥事件A与B的概率加法公式：()()()PABPAPB．③对立事件A与B的概率加法公式：()()1PAPB．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k)=Cknpk(1―p)n―k.实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项.事件定义集合角度理解关系互斥事件事件A与B不可能同时发生两事件交集为空事件A与B对立，则A与B必为互斥事件；事件A与B互斥，但不一是对立事件对立事件事件A与B不可能同时发生，且必有一个发生两事件互补3（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1)(012)kknknPXkCppkn，，，，，．此时称随机变量X服从二项分布，记作~()XBnp，，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当Nn（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，Nkn；当Nn不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，这时Nkn；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个编号()lk，将()lk加上k，得到第3个编号(2)lk，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．4①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为211()niisxxn．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．（4）求回归直线方程的步骤：第一步：先把数据制成表，从表中计算出211nniiiiixyxyx，，，；第二步：计算回归系数的a，b，公式为1112211()()()nnniiiiiiinniiiinxyxybnxxaybx，；第三步：写出回归直线方程ybxa．（4）独立性检验①22列联表：列出的两个分类变量X和Y，它们的取值分别为12{,}xx和12{,}yy的样本频数表称为22列联表1分类y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造随机变量22()()()())nadbcKabcdacbd（其中nabcd）5得到2K的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果2.706k，就有0090的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果3.841k就有0095的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果6.635k就有0099的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果低于2.706k，就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系．【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。③分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。④分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。⑤插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。⑥捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。⑦穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。例1.（2010·天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（）A.288种B.264种C.240种D.168种【提示】(1)B,D,E,F用四种颜色，则有441124A种涂色方法；(2)B,D,E,F用三种颜色，则有334422212192AA种涂色方法；(3)B,D,E,F用两种颜色，则有242248A种涂色方法；6所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。故选B例2、某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（B）A．120B．98C．63D．56【提示】分两类：第一类A，B，C三门课都不选，有37C＝35种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有13C27C＝63种方案．故共有35＋63＝98种方案．故选B例3、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(A)A．504B．210