2013届高考数学一轮复习讲义：专题二 导数的工具性作用之研究

主页一轮复习讲义导数的工具性作用之研究主页1．f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)0(或f′(x)0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，要点梳理忆一忆知识要点主页解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定．2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0处有极值的充分条件对于可导函数f(x)，x＝x0是f(x)的极值点，必须具备①f′(x0)＝0，②在x0两侧，f′(x)的符号为异号．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分．忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性，确定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围，来讨论方程根的分布与证明不等式．2．用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题，运用导数进行研究．3．函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个．主页4．极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值．5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可．6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点．主页例1已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．利用导数求函数的单调区间第(1)问由f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，即f′(x)≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，可求出a的取值范围；第(2)问先由f′(3)＝0求出a的值，再求f(x)的单调区间．主页解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0，得a≤32x－1x.记t(x)＝32x－1x，当x≥1时，t(x)是增函数，t(x)min＝32(1－1)＝0.∴a≤0.(2)由题意，f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－13，x2＝3.主页当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)的单调递增区间为－∞，－13，(3，＋∞)，单调递减区间为－13，3.本题的难点是对函数在区间上单调和求函数的单调区间的理解．函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于零(小于或等于零)，只要不在一段连续的区间上恒等于零即可，求函数的单调区间解f′(x)0(或0)即可．探究提高主页已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．变式训练2解(1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝11＋x－1＋2x.由于f(1)＝ln2，f′(1)＝32，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝32(x－1)，即3x－2y＋2ln2－3＝0.主页(2)f′(x)＝x(kx＋k－1)1＋x，x∈(－1，＋∞)．当k＝0时，f′(x)＝－x1＋x.所以在区间(－1,0)上，f′(x)0；在区间(0，＋∞)上，f′(x)0.故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．当0k1时，由f′(x)＝x(kx＋k－1)1＋x＝0，得x1＝0，x2＝1－kk0.所以在区间(－1,0)和1－kk，＋∞上，f′(x)0；在区间0，1－kk上f′(x)0.主页故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和1－kk，＋∞，单调递减区间是0，1－kk.当k＝1时，f′(x)＝x21＋x.故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k1时，f′(x)＝x(kx＋k－1)1＋x＝0，得x1＝1－kk∈(－1,0)，x2＝0.所以在区间－1，1－kk和(0，＋∞)上，f′(x)0；在区间1－kk，0上，f′(x)0.主页故f(x)的单调递增区间是－1，1－kk和(0，＋∞)，单调递减区间是1－kk，0.综上：①当k＝0时，f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0，＋∞)；②当0k1时，f(x)的单调递增区间为(－1,0)和1－kk，＋∞，单调递减区间为0，1－kk.③当k＝1时，f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；④当k1时，f(x)的单调递增区间为－1，1－kk和(0，＋∞)，单调递减区间为1－kk，0.主页例2已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)≤0.设x1、x2为方程f(x)＝0的两根．(1)求ba的取值范围；(2)若当|x1－x2|最小时，g(x)的极大值比极小值大43，求g(x)的解析式．利用导数求解函数的最值或极值解(1)∵g(x)＝ax3＋bx2＋cx，∴g(－1)＝－a＋b－c＝0，即c＝b－a.主页又f(x)＝g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f(0)f(1)≤0，得c(3a＋2b＋c)≤0，即(b－a)(3b＋2a)≤0.∵a≠0，∴ba－13·ba＋2≤0，解得－23≤ba≤1.又∵方程f(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0(a≠0)有两根，∴Δ≥0.而Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12a(b－a)＝4b－32a2＋3a20恒成立，于是，ba的取值范围是－23，1.主页(2)∵x1、x2是方程f(x)＝0的两根，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根为x1、x2，∴x1＋x2＝－2b3a，x1x2＝c3a＝b－a3a＝b3a－13.∴|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－2b3a2－4b3a－13＝49·ba2－43·ba＋43＝49ba－322＋13.∵－23≤ba≤1，∴当且仅当ba＝1，即a＝b时，|x1－x2|2取最小值，即|x1－x2|取最小值．此时，g(x)＝ax3＋ax2，f(x)＝3ax2＋2ax＝ax(3x＋2)．主页令f(x)＝0，得x1＝－23，x2＝0.若a0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：x－∞，－23－23－23，00(0，＋∞)f(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值由上表可知，g(x)的极大值为g－23＝427a，极小值为g(0)＝0.由题设，知427a－0＝43，解得a＝9，此时g(x)＝9x3＋9x2；主页当a0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：x(－∞，－23)－23(－23，0)0(0，＋∞)f(x)－0＋0－g(x)极小值极大值由上表可知，g(x)的极大值为g(0)＝0，极小值为g－23＝427a.由题设知0－427a＝43，解得a＝－9，此时g(x)＝－9x3－9x2.综上所述，g(x)的解析式为g(x)＝9x3＋9x2或g(x)＝－9x3－9x2.主页本题的难点是第(2)问，有两处值得思考：①|x1－x2|取得最小值时，会有怎样的结论？②怎样求出g(x)的极大值、极小值？在问题的求解过程中，由根与系数的关系建立|x1－x2|2关于ba的函数关系式，由第(1)问中ba∈－23，1求得|x1－x2|2取最小值，即|x1－x2|取得最小值时的条件是a＝b.然后在求g(x)的极大值、极小值时，需要对a分a0、a0进行讨论，得到相应的极大值、极小值．探究提高主页函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求a，b；(2)求函数f(x)在[0，t](t0)内的最大值和最小值．变式训练2解(1)f′(x)＝3x2＋2ax，由已知条件f(1)＝0f′(1)＝－3，即a＋b＋1＝02a＋3＝－3，解得a＝－3b＝2.主页(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．f′(x)与f(x)随x变化情况如下：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)2－2由f(x)＝f(0)，解得x＝0，或x＝3.因此根据f(x)图象，当0t≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(t)＝t3－3t2＋2；当2t≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2；当t3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2.主页例3已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.(1)当a＝16时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围．已知单调区间求参数范围解(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．当a＝16时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，∴f(x)在(－∞，－2]内单调递减，在[－2，＋∞)内单调递增，当x＝－2时，f(x)有极小值．∴f(－2)＝－12是f(x)的极小值．主页(2)在(－1,1)上f(x)是增函数，由此可得在(－1,1)上，f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，∴3ax2＋3ax－1≤0.①令g(x)＝3ax2＋3ax－1(－1x1)，①当a＝0时，①恒成立；②当a0时，若①成立，根据二次函数g(x)＝3ax2＋3ax－1(－1x1)的图象，只需满足g(1)＝3a×12＋3a×1－1≤0，即a≤16，∴0a≤16；③当a0时，若①成立，根据二次函数g(x)＝3ax2＋3ax－1(－1x1)的图象，只需满足g－12＝3a×－122＋3a×－12－1≤0，即a≥－43，∴－43≤a0.主页综上所述，f(x)在(－1,1)上是增函数时，a的取值范围为－43，16.(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决．(2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意．探究提高主页设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其