2017年北京高考文科数学试题及答案解析

12017年北京市高考文科数学试卷逐题解析数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷的答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题1.已知全集UR，集合{|2Axx或2}x，则UCAA.2,2B.,22,UC.2,2D.,22,U【答案】C【解析】|2Axx或2=,22,x，2,2UCA，故选C.2.若复数1iai在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A.,1B.,1C.1,+D.1,+【答案】B【解析】(1)()1(1)iaiaai在第二象限.1010aa得1a.故选B.23.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A.2B.32C.53D.85【答案】C【解析】0,1kS.3k成立，1k，2S=21.3k成立，2k，2+13S=22.3k成立，3k，3+152S=332.3k不成立，输出5S3.故选C.4.若,xy满足32xxyyx，则2xy的最大值为A.1B.3C.5D.9【答案】D【解析】设2zxy，则122zyx，当该直线过3,3时，z最大.当3,3xy时，z取得最大值9，故选D.35.已知函数1()3()3xxfx，则()fxA.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数【答案】B【解析】11()3()()3()33xxxxfxfx且定义域为R.()fx为奇函数.3xy在R上单调递增，1()3xy在R上单调递减1()3xy在R上单调递增.1()3()3xxfx在R上单调递增，故选B.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.60B.30C.20D.104【答案】D【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：SABC113541032SABCV，故选D.7.设,mn为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】存在负数，使得mn，且,mn为非零向量.m与n方向相反.||||cos||||0mnmnmn“存在负数，使得mn”是“0mn”的充分条件.若0mn，则||||cos0mnmn，则cos0.(,]2，m与n不一定反向.不一定存在负数，使mn.故选A8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010.则下列各数中与MN最接近的5是（参考数据：lg30.48）A.3310B.5310C.7310D.9310【答案】D【解析】3613M，8010N，36180310MN，两边取对数36136180803lglglg3lg10361lg3809310MN9310MN第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3，则sin.【答案】13【解析】根据题意得2,kkZ所以1sinsin310.若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m.【答案】2【解析】根据题意得221,abm6且2223abccea，解得2m11.已知0,0xy，且1xy，则22xy的取值范围是.【答案】1,12【解析】0,0,1xyxy0,1x22222211(1)221222xyxxxxx当12x时，22xy取得最小值为12当0x或1x时，22xy取得最大值为122xy的取值范围为1,1212.已知点P在圆221xy上，点A的坐标为2,0，O为原点，则AOAP的最大值为_______.【答案】6【解析】点P在圆221xy上设点P坐标00,xy，满足22001xy2,0AO，002,APxy，002224AOAPxx011x，26AOAP7AOAP的最大值为613.能够说明“设,,abc是任意实数.若abc，则abc”是假命题的一组整数,,abc的值依次为_______.【答案】1,2,3【解析】取,,abc分别为1,2,3不满足abc，故此命题为假命题（此题答案不唯一）14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_______；②该小组人数的最小值为_______.【答案】6,12【解析】①若教师人数为4人，则男生人数小于8人，则男生人数最多为7人，女生最多为6人。②若教师人数为1人，则男生人数少于2人，与已知矛盾若教师人数为2人，则男生人数少于4人，与已知矛盾若教师人数为3人，则男生人数少于6人，则男生为5人，女生4人。所以小组人数最小值为34512人8三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题13分）已知等差数列na和等比数列nb满足111ab，2410aa，245bba.（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求和：13521nbbbb.【解析】（Ⅰ）设na公差为d，nb公比为q.则243210aaa，即35a.故312514aad，即2d.*1212(1)nnNann.（Ⅱ）由（Ⅰ）知59a，即249bb，则2419bq，23q.nb为公比为q的等比数列.13521,,nbbbb构成首项为1，公比为23q的等比数列.1352111331132nnnbbbb*()nN.16.（本小题13分）已知函数3cos22sincos3fxxxx.（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求证：当,44x时，12fx.9【解析】（Ⅰ）3cos22sincos3133cos2sin2sin22231cos2sin222sin23fxxxxxxxxxx所以最小正周期222T.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知sin23fxx.,4452,366xx当236x，即4x时，fx取得最小值12.12fx得证.1017．（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（I）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（II）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50内的人数；（III）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【解析】（I）由频率分布直方图得：分数大于等于70的频率为分数在70,80和80,90的频率之和，即0.40.20.6，由频率估计概率分数小于70的概率为10.60.4（II）设样本中分数在区间40,50内的人数为x，则由频率和为1得1150.10.20.40.21100100x解之得5x总体中分数在区间40,50内的人数为540020100（人）（III）设样本中男生人数为a，女生人数为b样本中分数不小于70的人数共有0.40.210060（人）分数不小于70的人中男生，女生各占30人样本中男生人数为303060a（人）女生人数为1006040b（人）总体中男生和女生的比例为32ab1218．（本小题14分）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，2PAABBC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（I）求证：PABD；（II）求证：平面BDE平面PAC；（III）当//PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积.【解析】（I）PAAB，PABC，ABBCB又AB平面ABC，BC平面ABCPA平面ABC又BD平面ABCPABD（II）在ABC中，D为AC中点又ABBCBDAC由（I）知PABD，而ACPAA，PA，AC平面PACBD平面PAC13又BD平面PAC且BD平面BDE平面BDE平面PAC（III）由题知//PA平面BDEPA平面PAC，平面PAC平面BDEDE//PADEPA平面ABCDE平面ABC又D为AC中点E为PC中点112DEPA，2222ACABBC在ABC中，122DCACBCBA且90ABC45ACB2DBDC112BCDSDBDC1133EBCDBCDVSDE1419．（本小题14分）已知椭圆C的两个顶点分别为2,0A，2,0B，焦点在x轴上，离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为4:5.【解析】（Ⅰ）焦点在x轴上且顶点为2,02a32cea3c222abc2221bac椭圆的方程为：2214xy（Ⅱ）设0,0Dx且022x，0Myy，则0000,,MxyNxy，002AMykxAMDE1AMDEkk002DExky15直线DE:0002()xyxxy002BNykx直线BN:0022yyxx由0000022002()(2)214xyxxyyyxxxy得0000424,5551||21212124455BDEEBDNNEBDEBDNNExySBDySBDyBDySSBDyyy得证1620．（本小题13分）已知函数()cosxfxexx．（I）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（II）求函数()fx在区间0,2上的最大值和最小值.【解析】（I）()cosxfxexx'()cossin1xxfxexex00'(0)cos0sin010fee又0(0)cos00=1fe()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为1y（II）令()'()cossin1xxgxfxexex，0,2x'()cossin(cossin)2sinxxxxxgxexexexexex0,2xsin0x而0xe'()0gx()gx在区间0,2上单调递减()(0)0gxg'()0fx()fx在区间0,2上单调递减17当2x时，()fx有最小值2()cos22