2011高考数学单元复习训练不等式的证明(

高中数学辅导网课时训练37不等式的证明（二）【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.设0＜x＜1,a、b为正常数，xbxa122的最小值是（）A.4abB.2(a2+b2)C.(a+b)2D.(a-b)2答案：C解析：令x=cos2θ,θ∈(0,2),则xbxa122=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥a2+b2+2ab=(a+b)2.2.若a、b∈R,a2+b2=10,则a-b的取值范围是（）A.［-25，25］B.［-210，210］C.［-10，10］D.［0，10］答案：A解析：设a=10cosθ,b=10sinθ,则a-b=10(cosθ-sinθ)=25·cos(θ+4)-25,25］.3.已知a∈R+,则下列各式中成立的是（）A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＜lg(a+b)B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＞lg(a+b)C.22sincosba=a+bD.22sincosba＞a+b答案：A解析：cos2θlga+sin2θlgb＜cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).4.设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b＞0是f(x)＞0在［0，1］上恒成立的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：a+2b＞0a·21+b＞0f(21)＞0,不能推出f(x)＞0,x∈［0,1］;反之，f(x)＞0,x∈［0,1］f(21)＞0a+2b＞0.5.(2010重庆万州区一模，7)已知函数y=f(x)满足：①y=f(x+1)是偶函数；②在［1，+∞）上为增函数.若x1＜0,x2＞0,且x1+x2＜-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是()A.f(-x1)＞f(-x2)B.f(-x1)＜f(-x2)C.f(-x1)=f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定答案：A解析：y=f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).又x1+x2＜-2,-x1＞2+x2＞2，高中数学辅导网故f(-x1)＞f(2+x2)=f(-x2).6.(2010湖北十一校大联考，9)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都成立，且在［-2，0］上单调递增，a=f(23),b=f(27),c=f(21log8)，则下列成立的是()A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.c＞a＞b答案：B解析：由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),∴T=4,而f（x）在R上为偶函数又在［-2，0］上单调递增，所以f(x)在［0，2］上单调递减.b=f(27)=f(-21)=f(21),c=f(21log8)=f(-3)=f(1),a=f(23).∵23＞1＞21,∴b＞c＞a.7.设a、b、c、d∈R，m=22ba+22dc,n=22)()(dbca,则()A.m＜nB.m＞nC.m≤nD.m≥n答案：D解析：设A(a,b),B(c,d),O(0,0),∵|OA|+|OB|≥|AB|,∴得m≥n.二、填空题（每小题5分，共15分）8.设x＞0,y＞0,A=yxyx1,B=yyxx11,则A，B的大小关系是__________________.答案：A＜B解析：A=yyxxyxyyxx1111=B.9.已知x2+y2=1,对于任意实数x,y恒有不等式x+y-k≥0成立，则k的最大值是____________.答案：-2解析：设x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=2sin(θ+4),∴k≤-2.∴k的最大值为-2.10.设｛an｝是等差数列，且a12+a112≤100,记S=a1+a2+…+a11则S的取值范围是______________.答案：［-552，552］解析：由221121aa≥(2111aa)22111aa∈［-52,52］.∴S=a1+a2+…+a11高中数学辅导网=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6=211(a1+a11)∈［-552,552］.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.若x,y均为正数，且x+y＞2.求证:xy1与yx1中至少有一个小于2.证明：假设xy1与yx1均不小于2，即xy1≥2且yx1≥2,则1+y≥2x,1+x≥2y.相加得2+x+y≥2(x+y)，推出x+y≤2,与题设x+y≥2矛盾.故假设错误.12.已知an=3221+…+)1(nn(n∈N*),求证：2)1(nn＜an＜2)1(2n对n∈N*恒成立.证明：an＞2221+…+2n=1+2+3+…+n=2)1(nn,而an＜21［(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))］=2n+(1+2+3+…+n)=222nn＜2)1(2n.13.若a,b,c为三角形三边，x,y,z∈R,x+y+z=0,求证：a2yz+bzzx+c2xy≤0.证明：∵z=-x-y,∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,∴原不等式f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0.(*)∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=［(a2+b2+2ab)-c2］［(a2+b2-2ab)-c2］=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),a,b,c为三角三边，∴Δ＜0.∴b2＞0,∴f(x)＞0对x∈R恒成立，即（*）表示，∴原不等式得证.14.已知：a∈R+,求证：a+aaa414≥417.证明：∵a∈R+，设t=a+4a≥2aa4=4,则左式=f(t)=t+t1(t≥4)∴f(t)=(tt1)2+2在t≥4上递增.∴f(t)≥f(4)=4+41=417得证.