2017高考数学专题数列

专题二数列的通项与求和【主干知识】1.必记公式(1)“基本数列”的通项公式:①数列-1,1,-1,1,…的通项公式是an=_____(n∈N*).②数列1,2,3,4,…的通项公式是an=__(n∈N*).③数列3,5,7,9,…的通项公式是an=_____(n∈N*).④数列2,4,6,8,…的通项公式是an=___(n∈N*).(-1)nn2n+12n⑤数列1,2,4,8,…的通项公式是an=____(n∈N*).⑥数列1,4,9,16,…的通项公式是an=__(n∈N*).⑦数列1,3,6,10,…的通项公式是an=______(n∈N*).⑧数列,…的通项公式是an=___(n∈N*).2n-1n2nn121111,,,12341n2(nN*)1__________.nn11111().nnkknnk1__________________.2n12n1常用的拆项公式其中：①②③111()22n12n111nn1nnn1nn1nn2nn2ad,11111111()().aadaaaa2daa1111[].nn1n22nn1n1n21n1n.nn111(nkn).knnknn!n1!n!.④若等差数列的公差为则；⑤⑥⑦⑧2.易错提醒（1）裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错.（2）忽略验证第一项致误:利用求通项，忽略n≥2的限定，忘记第一项单独求解与检验.（3）求错项数致误：错位相减法求和时，相减后总项数为n+1,易错并且还易漏掉减数式的最后一项.1nnn1S,n1,aSS,n2【考题回顾】1.一组高考题回做！！！.16年课标二理17．Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(Ⅰ)求b1,b11,b101;(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和【答案】(Ⅰ)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n.b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(Ⅱ)因为bn=所以数列{bn}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.15年课标二理4.已知等比数列{}na满足13a，13521aaa，则357aaaA.21B.42C.63D.84（１６）设nS是数列{}na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS。n114年课标二理17.（本小题满分12分）已知数列满足，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.na11a131nnaa12nana1231112naaa…+解:（Ⅰ）由得,所以.又，所以是首项为,公比为3的等比数列.，因此的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为当时，，所以.于是.所以131nnaa1113()22nnaa112312nnaa11322a12na32na312nna1231nna1n13123nn1113123nn112111113131(1)32233nnnaaa…+1231112naaa…+13年课标二理（3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）（A）13（B）13（C）19（D）19（5）已知等差数列{}na的前n项和为nS，555,15aS，则数列11}nnaa{的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100【其它考题回顾】1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an【解析】选D.因为等比数列的首项为1,公比为,所以Sn=3-2an.2323n1nn21aaaq3S21q13，2.(2016·绍兴模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a8=13,S7=35,则a7=()A.8B.9C.10D.11【解析】选A.由已知条件可得,所以a7=a1+6d=2+6×1=8.1112a9d13,a2,7(2a6d)d1,35,2解得3.已知数列{an}为等差数列,a1=1,公差d≠0,a1,a2,a5成等比数列,则a2017的值为4.已知等差数列{an}的前n项和是Sn,若a10,且a1+9a6=0,则Sn取最大值时n为()A.11B.10C.6D.5【解析】选D.因为a10,a1+9a6=a1+a6+8a6=a2+a5+8a6=a2+a6+a5+7a6=2a4+a5+7a6=2(a4+a6)+a5+5a6=5(a5+a6)=0,所以a50,a60,即前5项和最大.5.(2016·银川模拟)某音乐酒吧的霓虹灯是用♪∮♬三个不同音符组成的一个含n+1(n∈N*)个音符的音符串,要求由音符♪开始,相邻两个音符不能相同.例如n=1时,排出的音符串是♪∮,♪♬;n=2时排出的音符串是♪∮♪,♪∮♬,♪♬♪,♪♬∮,…,记这种含n+1个音符的所有音符串中,排在最后一个的音符仍是♪的音符串的个数为an,故a1=0,a2=2.则(1)a4=;(2)an=.【解析】a1=0,a2=2=21-a1,a3=2=22-a2,a4=6=23-a3;a5=10=24-a4,所以an=2n-1-an-1,所以an-1=2n-2-an-2,两式相减得:an-an-2=2n-2,当n为奇数时,利用累加法得an-a1=21+23+…+2n-2=,所以an=,同理,当n为偶数时,利用累加法得an-a2=22+24+…+2n-2=,所以an=,综上所述an=.答案:(1)6(2)n223n223n243n223nn2213nn2213热点考向一求数列的通项公式【考情快报】难度:中档题命题指数:★★★题型:在客观题、解答题中都会出现考查方式:考查等差、等比数列的基本量的求解,考查an与Sn的关系,递推关系等,体现方程思想、整体思想、化归与转化思想的应用1(1)nn2n1,.2an2，，【典题1】(1)(2015·衢州模拟)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=()A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn(2)(2016·浙江五校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=则an=【信息联想】（1）看到an+1=an+ln，即an+1-an=ln(n+1)-lnn，想到___________.（2）看到前n项和形式，想到_________________.1(1)n累加或累乘1nnn1S,n1,aSS,n2【规范解答】(1)选A.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln2-ln1+2=2+lnn.(2)当n≥2时,Sn=2an=2(Sn-Sn-1),Sn=2Sn-1,S1=2,所以Sn=2n，所以an=n12n12n2.，，，【互动探究】题(1)条件变化为:已知数列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,求数列{an}的通项公式.【解析】已知条件可化为n1nan1,a2nnn1n22n1n1n2n31n1aaaaaaaaaann1n22n1.2(n1)2(n2)2(n3)212所以【规律方法】求通项的常用方法(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.(2)已知Sn与an的关系,利用an=求an.(3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法).(4)累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n项积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).1nn1S,n1SS,n2，（5）构造法：①递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可化为an+1+=p(an+)(p≠1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解.(又配凑法或待定系数法)②递推关系形如an+1=(p为非零常数)可化为的形式.（取倒数法）qp1qp1nq{a}p1nnpaapn1n111aap)1,0)((1ppnfpaann（6）.)(:111后累加法求解待定系数法或化为求法pnfpapannnnn11{}1,22(),{}.nnnnnaaaanNa1.(1).在数列中求数列的通项公式（2）.已知{an}中,a1=1,,求通项annnnnaaa112.已知数列{an}满足a1=4,a2=2,a3=1,又{an+1-an}成等差数列(n∈N*),则an等于.【解析】由已知,{an+1-an}是首项为-2,公差为1的等差数列,an+1-an=-2+(n-1)=n-3,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=.答案:2n7n1422n7n142【加固训练】3.（2016·杭州模拟）等差数列{an}中，a1=2015,前n项和为Sn,=-2，则S2017的值为_____.1012SS1210【解析】设等差数列{an}的公差为d，则所以是首项为2015，公差为-1的等差数列，=2015+(n-1)(-1)=2016-n,S2017=-2017.答案：-2017n1Sddnan22，nS{}nnSn热点考向二求数列的前n项和【考情快报】高频考向多维探究难度:中档题命题指数:★★★题型:客观题、解答题都可能出现考查方式:主要考查等差、等比数列前n项和公式以及其他求和方法,尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容,常与通项公式相结合考查,有时也与函数、方程等知识综合命题命题角度一基本数列求和、分组求和【典题2】设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),数列{a2n-1}是首项为1的等差数列,数列{a2n}是首项为2的等比数列,且满足S3=a4,a3+a5=a4+2.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求S2n.【信息联想】(1)看到数列{a2n-1}是等差数列、{a2n}是等比数列,想到_________________________.(2)看到求S2n,想到______________________________.等差、等比数列的通项公式等差、等比数列前n项和分组求和【规范解答】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d,所以解得d=2,q=3.所以an=(k∈N*).(2)S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+5+…+2n-1)+(2×30+2×31+…+2×3n-1)4d2q(1d)(12d)22q＋＝，＋＋＋＝＋，n12n,n2k1,23,n2kn2n21312n1nn13.213＝＋命题角度二裂项相消求和【典题3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn.(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和.2n4a1【信息联想】(1)看到等差数列、等差中项,想到等差数列的_________________.(2)看到bn=的结构,求数列{bn}的前n项和,想到______________.基本量、基本公式2