2011年辽宁高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x1|x}，B={x21|x}，则AB=()A.{x21|x}B.{x1|x}C.{x11|x}D.{x21|x}【测量目标】集合的基本运算（交集）.【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的交集.【参考答案】D【试题解析】利用数轴可以得到AB={x1|x}{x21|x}={x21|x}.2．i为虚数单位，3571111iiii()A.0B.2iC.2iD.4i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】结合复数代数形式和方幂来考查四则运算.【参考答案】A【试题解析】3571111iiii0iiii.3．已知向量(2,1)a，(1,)kb，(2)0aab，则k()A.12B.6C.6D.12【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】给出两向量数量积为零的条件，求待定参数.【参考答案】D【试题解析】因为(2,1),(1,)kab，所以2(5,2)kab．（步骤1）又(2)0aab，所以0)2(152k，得12k．（步骤2）4．已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为()A.n∈N，2n≤1000B.n∈N，2n＞1000C.n∈N，2n≤1000D.n∈N，2n＜1000【测量目标】全称命题和特称命题的否定.【考查方式】结合不等式考查特称命题的否定.【参考答案】A【试题解析】特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为()A.2B.4C.8D.16【测量目标】等比数列的性质.【考查方式】给出相邻两项数列积的规律，化简得出数列的公比.【参考答案】B【试题解析】设等比数列{an}的公比为q，116nnnaa,11216nnnaa，（步骤1）∴216,4qq（步骤2）6．若函数))(12()(axxxxf为奇函数，则a=()A.21B.32C.43D.1【测量目标】函数奇偶性的综合应用.【考查方式】利用奇函数的原点对称性，代入特殊点求出函数中的未知数.【参考答案】A【试题解析】∵函数))(12()(axxxxf为奇函数,∴(2)(2),ff2(41)(2)a即2=(41)(2)a，解得12a.7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，=3AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出焦点弦的线段关系，间接求解点到坐标轴的距离.【参考答案】C【试题解析】设A，B两点的横坐标分别为,mn则由=3AFBF及抛物线的定义可知132mn,(步骤1)∴1,2mn5.24mn（步骤2）即线段AB的中点到y轴的距离为5.4（步骤3）8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A.4B.32C.2D.3【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出正三棱柱的体积和线段的长度，转化为求对应平面的面积.【参考答案】B【试题解析】设棱长为a，由体积为32可列等式aa24332，2a，（步骤1）所求矩形的底边长为323a，这个矩形的面积是3223．（步骤2）9．执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A.8B.5C.3D.2【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k的值．【参考答案】C【试题解析】若输入n=4，则执行s=0，t=1，k=1，p=1，判断14成立，进行第一次循环；（步骤1）p=2，s=1，t=2，k=2，判断24成立，进行第二次循环；（步骤2）p=3，s=2，t=2，k=3，判断34成立，进行第三次循环；（步骤3）p=4，s=2，t=4，k=4，判断44不成立，故输出p=4（步骤4）.10．已知球的直径4SCAB，，是该球球面上的两点，2AB，45ASCBSC，则棱锥SABC的体积为()A.33B.233C.433D.533【测量目标】球体和三棱锥的体积.【考查方式】给出球体内部三棱锥的线段关系，利用线面垂直的关系求出对应三棱锥的体积.【参考答案】C【试题解析】设球心为O，则BOAO,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边,4SO故2BOAO，(步骤1)且有SCAO，SCBO．∴1()3SABCSAOBCAOBAOBVVVSSOOC△=3344243312．（步骤2）11．函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为()A.（1，1）B.（1，+）C.（，1）D.（，+）【测量目标】函数的单调性、导函数的性质和不等式的应用.【考查方式】给出函数值和导函数满足的条件，将不等式转化为函数的值域，进而求出对应的解集.【参考答案】B【试题解析】设()()(24)gxfxx,()()2gxfx.（步骤1）因为对任意xR，2)(xf，所以对任意xR，()0gx，则函数g(x)在R上单调递增.（步骤2）又因为g(1)=(1)(24)0f，故()0gx,即()24fxx的解集为(1,)（步骤3）12．已知函数)(xf=Atan（x+）（π0,||2），y=)(xf的部分图像如下图，则π()24f()A.2+3B.3C.33D.23【测量目标】)(xf=Atan（x+）的图象及性质.【考查方式】结合正切函数的图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值.【参考答案】B【试题解析】如图可知3ππ288T，即ππ24，所以2，（步骤1）再结合图像可得ππ2π,82kkZ，即πππ42k，所以4143k，（步骤2）只有0k，所以π4，又图像过点（0，1），代入得Atanπ4=1，所以A=1，函数的解析式为π()tan(2)4fxx，则ππ()tan3246f.（步骤3）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．【测量目标】圆的方程，直线方程，直线与圆的位置关系.【考查方式】由圆上的两点坐标确定出过圆心的直线，进而求出圆的方程.【参考答案】22(2)10xy【试题解析】直线AB的斜率是311152ABk，中点坐标是(3,2).故直线AB的中垂线方程223yx，（步骤1）由223,0,yxy得圆心坐标(2,0)C，||rAC223110,故圆的方程为22(2)10xy.（步骤2）14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：321.0254.0ˆxy.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．【测量目标】回归直线方程的实际应用.【考查方式】由回归直线方程中系数的意义可直接求解．【参考答案】0.254【试题解析】由于321.0254.0ˆxy，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．15．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．【测量目标】等差数列的综合应用.【考查方式】给出等差数列的某几项和之间的关系，通过待定系数法求出等差数列通项公式和某一项.【参考答案】1【试题解析】设等差数列的公差为d，解方程组1116526,231,adadad得2d，(步骤1)541.aad（步骤2）16．已知函数()e2xfxxa有零点，则a的取值范围是___________．【测量目标】函数的零点，单调性，极值，导数的性质，函数的零点与方程根的联系..【考查方式】通过函数有零点转化为方程有根，将里面的参数提取出来作为函数值来处理，应用导数和极值求出其参数的取值范围.【参考答案】,2ln22【试题解析】函数()e2xfxxa有零点等价于()0,fx即e2xxa有解.等价于2exax有解.(步骤1）令2exgxx，∴2exgx.当ln2x时，0gx；当ln2x时，0gx.（步骤2）∴当ln2x时，2exgxx取到最大值2ln22，∴a的取值范围是,2ln22.（步骤3）三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a．（I）求ba；（II）若c2=b2+3a2，求B．【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中边和角满足的等式关系，由正弦定理和余弦定理求出相应的边和角.【试题解析】（I）由正弦定理得，22sinsinsincos2sinBABAA，即22sin(sincos)2sinBAAA(步骤1）故sin2sin,BA所以2.ba(步骤2）………………6分（II）由余弦定理和222(13)3,cos.2acbaBc得(步骤1）由（I）知222,ba故22(23).ca(步骤2）可得21cos,2B又cos0,B故2cos,2B所以45B.(步骤3）…………12分18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD．（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值．【测量目标】空间点、线、面之间的位置关系，线线、线面、面面垂直的性质与判定，三棱锥的体积.【考查方式】线线垂直线面垂直,给定线段间比例关系由此求出三棱锥体积.【试题解析】（I）由条件知四边形PDAQ为直角梯形因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.(步骤1）在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=22PD，则PQ⊥QD(步骤2）所以PQ⊥平面DCQ.(步骤3）………………6分（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积311.3Va(步骤1）由（I）知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQ=2a，△DCQ的面积为222a，所以棱锥PDCQ的体积为321.3Va(步骤2）故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1(步骤3）.……12分19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷