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12009年全国高考理科数学试题及答案(全国卷Ⅱ)一、选择题:1.10i2-iA.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i解:原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i.故选A.2.设集合1|3,|04xAxxBxx,则AB=A.B.3,4C.2,1D.4.解:1|0|(1)(4)0|144xBxxxxxxx.(3,4)AB.故选B.3.已知ABC中,12cot5A,则cosAA.1213B.513C.513D.1213解:已知ABC中,12cot5A,(,)2A.221112cos1351tan1()12AA故选D.4.曲线21xyx在点1,1处的切线方程为A.20xyB.20xyC.450xyD.450xy解:111222121||[]|1(21)(21)xxxxxyxx,故切线方程为1(1)yx,即20xy故选B.5.已知正四棱柱1111ABCDABCD中,12AAAB,E为1AA中点,则异面直线BE与1CD所成的角的余弦值为A.1010B.15C.31010D.352解:令1AB则12AA,连1AB1CD∥1AB异面直线BE与1CD所成的角即1AB与BE所成的角。在1ABE中由余弦定理易得1310cos10ABE。故选C6.已知向量2,1,10,||52aabab,则||bA.5B.10C.5D.25解:222250||||2||520||abaabbb||5b。故选C7.设323log,log3,log2abc,则A.abcB.acbC.bacD.bca解:322log2log2log3bc2233log3log2log3logababc.故选A.8.若将函数tan04yx的图像向右平移6个单位长度后,与函数tan6yx的图像重合,则的最小值为A.16B.14C.13D.12解:6tantan[(]ta)6446nyxyxx向右平移个单位164()662kkkZ,又min102.故选D9.已知直线20ykxk与抛物线2:8Cyx相交于AB、两点,F为C的焦点,若||2||FAFB,则kA.13B.23C.23D.223解:设抛物线2:8Cyx的准线为:2lx直线20ykxk恒过定点P2,0.如图过AB、分别作AMl于M,BNl3于N,由||2||FAFB,则||2||AMBN,点B为AP的中点.连结OB,则1||||2OBAF,||||OBBF点B的横坐标为1,故点B的坐标为22022(1,22)1(2)3k,故选D10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A.6种B.12种C.30种D.36种解:用间接法即可.22244430CCC种.故选C11.已知双曲线222210,0xyCabab:的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点,若4AFFB,则C的离心率为mA.65B.75C.58D.95解:设双曲线22221xyCab:的右准线为l,过AB、分别作AMl于M,BNl于N,BDAMD于,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角为16060,||||2BADADAB,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AMBNADAFFBe11||(||||)22ABAFFB.又15643||||25AFFBFBFBee故选A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“”的面的方位是A.南B.北C.西D.下4解:展、折问题。易判断选B第II卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡上。13.4xyyx的展开式中33xy的系数为6。解:4224()xyyxxyxy,只需求4()xy展开式中的含xy项的系数:246C14.设等差数列na的前n项和为nS,若535aa则95SS9.解:na为等差数列,9553995SaSa15.设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于74,则球O的表面积等于8.解:设球半径为R,圆C的半径为r,2277.444rr,得由因为22224ROCR。由2222217()484RRrR得22R.故球O的表面积等于8.16.已知ACBD、为圆O:224xy的两条相互垂直的弦,垂足为1,2M,则四边形ABCD的面积的最大值为。解:设圆心O到ACBD、的距离分别为12dd、,则222123ddOM+.四边形ABCD的面积222212121||||2(4)8()52SABCDdddd)(4-三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,3cos()cos2ACB,2bac,求B。分析:由3cos()cos2ACB,易想到先将()BAC代入53cos()cos2ACB得3cos()cos()2ACAC。然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sinsin4AC;又由2bac,利用正弦定理进行边角互化,得2sinsinsinBAC,进而得3sin2B.故233B或。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当23B时,由1coscos()2BAC,进而得3cos()cos()212ACAC,矛盾,应舍去。也可利用若2bac则babc或从而舍去23B。不过这种方法学生不易想到。评析:本小题考生得分易,但得满分难。18(本小题满分12分)如图,直三棱柱111ABCABC中,,ABACD、E分别为1AA、1BC的中点,DE平面1BCC(I)证明:ABAC(II)设二面角ABDC为60°,求1BC与平面BCD所成的角的大小。(I)分析一:连结BE,111ABCABC为直三棱柱,190,BBCE为1BC的中点,BEEC。又DE平面1BCC,BDDC(射影相等的两条斜线段相等)而DA平面ABC,ABAC(相等的斜线段的射影相等)。分析二:取BC的中点F,证四边形AFED为平行四边形,进而证AF∥DE,AFBC,得ABAC也可。分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。(II)分析一:求1BC与平面BCD所成的线面角,只需求点1B到面BDC的距离即可。作AGBD于G,连GC,则GCBD,AGC为二面角ABDC的平面角,60AGC.不6妨设23AC,则2,4AGGC.在RTABD中,由ADABBDAG,易得6AD.设点1B到面BDC的距离为h,1BC与平面BCD所成的角为。利用11133BBCBCDSDESh,可求得h23,又可求得143BC11sin30.2hBC即1BC与平面BCD所成的角为30.分析二:作出1BC与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得BCAFED面,所以面AFEDBDC面。由分析一易知:四边形AFED为正方形,连AEDF、,并设交点为O,则EOBDC面,OC为EC在面BDC内的射影。ECO即为所求。以下略。分析三:利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n,则1BC与平面BCD所成的角即为1BC与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。19(本小题满分12分)设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa(I)设12nnnbaa,证明数列{}nb是等比数列(II)求数列{}na的通项公式。解:(I)由11,a及142nnSa,有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa,...①则当2n时,有142nnSa.....②②-①得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa,12nnbb{}nb是首项13b,公比为2的等比数列.7(II)由(I)可得11232nnnnbaa,113224nnnnaa数列{}2nna是首项为12,公差为34的等比数列.1331(1)22444nnann,2(31)2nnan评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可.第(II)问中由(I)易得11232nnnaa,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:1(,nnnapaqpq为常数),主要的处理手段是两边除以1nq.总体来说,09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列(全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法),一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20(本小题满分12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。(I)求从甲、乙两组各抽取的人数;(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(III)记表示抽取的3名工人中男工人数,求的分布列及数学期望。分析:(I)这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。(II)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率1146210815CCPC(III)的可能取值为0,1,2,31234211056(0)75CCPCC,1112146342212110510528(1)75CCCCCPCCCC,821622110510(3)75CCPCC,31(2)1(0)(1)(3)75PPPP分布列及期望略。评析:本题较常规,比08年的概率统计题要容易。在计算(2)P时,采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力。21(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为33,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为22(I)求a,b的值;(II)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OPOAOB成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由。解:(I)设(,0)Fc,直线:0lxyc,由坐标原点O到l的距离为22则|00|222c,解得1c.又3,3,23ceaba.(II)由(I)知椭圆的方程为22:132xyC.设11(,)Axy、B22(,)xy由题意知l的斜率为一定不为0,故不妨设:1lxmy代入椭圆的方程中整理得22(23)
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