2017年山东省高考数学试卷(文科)

第1页（共19页）2017年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A．﹣2iB．2iC．﹣2D．23．（5分）已知x，y满足约束条件{𝑥−2𝑦+5≤0𝑥+3≥0𝑦≤2则z=x+2y的最大值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知cosx=34，则cos2x=（）A．﹣14B．14C．﹣18D．185．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．p∧￢qC．￢p∧qD．￢p∧￢q6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3B．x＞4C．x≤4D．x≤57．（5分）函数y=√3sin2x+cos2x的最小正周期为（）第2页（共19页）A．𝜋2B．2𝜋3C．πD．2π8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5B．5，5C．3，7D．5，79．（5分）设f（x）={√𝑥，0＜𝑥＜12(𝑥−1)，𝑥≥1若f（a）=f（a+1），则f（1𝑎）=（）A．2B．4C．6D．810．（5分）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（）A．f（x）=2﹣xB．f（x）=x2C．f（x）=3﹣xD．f（x）=cosx二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知向量𝑎→=（2，6），𝑏→=（﹣1，λ），若𝑎→∥𝑏→，则λ=．12．（5分）若直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．13．（5分）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，则f（919）=．第3页（共19页）15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．三、解答题16．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，𝐴𝐵→⋅𝐴𝐶→=﹣6，S△ABC=3，求A和a．18．（12分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{an}通项公式；（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列{𝑏𝑛𝑎𝑛}的前n项和Tn．20．（13分）已知函数f（x）=13x3﹣12ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有第4页（共19页）无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2√2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．第5页（共19页）2017年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）【分析】解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案．【解答】解：集合M={x||x﹣1|＜1}=（0，2），N={x|x＜2}=（﹣∞，2），∴M∩N=（0，2），故选：C．【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A．﹣2iB．2iC．﹣2D．2【分析】根据已知，求出z值，进而可得答案．【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，∴z=1+𝑖𝑖=1﹣i，∴z2=﹣2i，故选：A．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）已知x，y满足约束条件{𝑥−2𝑦+5≤0𝑥+3≥0𝑦≤2则z=x+2y的最大值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．第6页（共19页）【解答】解：x，y满足约束条件{𝑥−2𝑦+5≤0𝑥+3≥0𝑦≤2的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由：{𝑦=2𝑥−2𝑦+5=0解得A（﹣1，2），目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，确定目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力．4．（5分）已知cosx=34，则cos2x=（）A．﹣14B．14C．﹣18D．18【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：∵根据余弦函数的倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，且cosx=34，∴cos2x=2×(34)2﹣1=18．故选：D．【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．p∧￢qC．￢p∧qD．￢p∧￢q【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．第7页（共19页）故命题p为真命题；当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3B．x＞4C．x≤4D．x≤5【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，故选B．方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；第8页（共19页）若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，故选B．【点评】本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题．7．（5分）函数y=√3sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．𝜋2B．2𝜋3C．πD．2π【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．【解答】解：∵函数y=√3sin2x+cos2x=2sin（2x+𝜋6），∵ω=2，∴T=π，故选：C【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础题．8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5B．5，5C．3，7D．5，7【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，第9页（共19页）故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．9．（5分）设f（x）={√𝑥，0＜𝑥＜12(𝑥−1)，𝑥≥1若f（a）=f（a+1），则f（1𝑎）=（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可．【解答】解：当a∈（0，1）时，f（x）={√𝑥，0＜𝑥＜12(𝑥−1)，𝑥≥1，若f（a）=f（a+1），可得√𝑎=2a，解得a=14，则：f（1𝑎）=f（4）=2（4﹣1）=6．当a∈[1，+∞）时．f（x）={√𝑥，0＜𝑥＜12(𝑥−1)，𝑥≥1，若f（a）=f（a+1），可得2（a﹣1）=2a，显然无解．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．10．（5分）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（）A．f（x）=2﹣xB．f（x）=x2C．f（x）=3﹣xD．f（x）=cosx【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）=2﹣x时，满足定义．【解答】解：当f（x）=2﹣x时，函数exf（x）=（𝑒2）x在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，故选：A第10页（共19页）【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知向量𝑎→=（2，6），𝑏→=（﹣1，λ），若𝑎→∥𝑏→，则λ=﹣3．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵𝑎→∥𝑏→，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题．12．（5分）若直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为8．【分析】将（1，2）代入直线方程，求得1𝑎+2𝑏=1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．【解答】解：直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则1𝑎+2𝑏=1，由2a+b=（2a+b）×（1𝑎+2𝑏）=2+4𝑎𝑏+𝑏𝑎+2=4+4𝑎𝑏+𝑏𝑎≥4+2√4𝑎𝑏×𝑏𝑎=4+4=8，当且仅当4𝑎𝑏=𝑏𝑎，即a=12，b=1时，取等号，∴2a+b的最小值为8，故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．13．（5分）由一个长方体和两个14圆