1984年高考理科数学试题及答案

普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分奎屯王新敞新疆第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的奎屯王新敞新疆把正确结论的代号写在题后的圆括号内奎屯王新敞新疆每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分奎屯王新敞新疆1．数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k1）π，k是整数}之间的关系是（C）（A）XY（B）XY（C）X=Y（D）X≠Y2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（C）（A）F=0，G≠0，E≠0.（B）E=0，F=0，G≠0.（C）G=0，F=0，E≠0.（D）G=0，E=0，F≠0.3.如果n是正整数，那么)1]()1(1[812nn的值（B）（A）一定是零奎屯王新敞新疆（B）一定是偶数奎屯王新敞新疆（C）是整数但不一定是偶数（D）不一定是整数奎屯王新敞新疆4.)arccos(x大于xarccos的充分条件是（A）（A）]1,0(x（B）)0,1(x（C）]1,0[x（D）]2,0[x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin12sin2cos那么2（A）是第一象限角（B）是第三象限角（B）（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞（D）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分奎屯王新敞新疆只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积奎屯王新敞新疆答：.84或2.函数)44(log25.0xx在什么区间上是增函数？答：x＜-2.3．求方程21)cos(sin2xx的解集奎屯王新敞新疆答：},12|{},127|{ZnnxxZnnxx4．求3)2||1|(|xx的展开式中的常数项奎屯王新敞新疆答：-20奎屯王新敞新疆5．求1321limnnn的值奎屯王新敞新疆答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）奎屯王新敞新疆答：!647P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形奎屯王新敞新疆1．设,0,1,0,0)(xxxH当当画出函数y=H(x-1)的图象奎屯王新敞新疆2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(的曲线奎屯王新敞新疆普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线奎屯王新敞新疆求证这三条交线交于一点或互相平行奎屯王新敞新疆证：设三个平面为α，β，γ，且.,,abc.,,,bcbc从而c与b或交于一点或互相平行奎屯王新敞新疆1．若c与b交于一点，设;,,.PccPPbc有且由aPPbbP于是有又由.,,∴所以a,b,c交于一点（即P点）2.若c∥b,则由acaccb//,,.//,可知且又由有奎屯王新敞新疆所以a,b,c互相平行奎屯王新敞新疆五．（本题满分14分）设c,d,x为实数，c≠0，x为未知数奎屯王新敞新疆讨论方程1log)(xxdcx在什么情况下有解奎屯王新敞新疆有解时求出它的解奎屯王新敞新疆解：原方程有解的充要条件是：2．4O12X1．Y10O1XPbαβaγcbαβaγc普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞(4))((3),0(2),0(1),01xxdcxxdcxxdcxx由条件（4）知1)(xdcxx，所以12dcx奎屯王新敞新疆再由c≠0，可得.12cdx又由1)(xdcxx及x＞0，知0xdcx，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中奎屯王新敞新疆再由条件（3）及1)(xdcxx，知.1x因此，原条件可简化为以下的等价条件组：(6).1x(5)1,x(1),02cdx由条件（1）（6）知.01cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1;②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc1从而，当c＞0,d＜1且dc1时，或者当c＜0,d＞1且dc1时，原方程有解，它的解是cdx1奎屯王新敞新疆六．（本题满分16分）1．设0p，实系数一元二次方程022qpzz有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，Z2奎屯王新敞新疆求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长奎屯王新敞新疆（7分）普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程奎屯王新敞新疆（9分）解：1.因为p,q为实数，0p，z1,z2为虚数，所以0,04)2(22pqqp由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上奎屯王新敞新疆又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点奎屯王新敞新疆根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距离=2c=|z1-z2|=2212212|4)(|pqzzzz,长轴长=2a=.2222qcb2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴奎屯王新敞新疆设椭圆左顶点为A（x,y），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21，从而左焦点F的坐标为),23(yx奎屯王新敞新疆设d为点M到y轴的距离，则d=1奎屯王新敞新疆根据21||dMF及两点间距离公式，可得1)2(4)32(9,)21()2()123(22222yxyx即这就是所求的轨迹方程奎屯王新敞新疆普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞七．（本题满分15分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，且c=10，34coscosabBA，P为△ABC的内切圆上的动点奎屯王新敞新疆求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值奎屯王新敞新疆解：由abBAcoscos，运用正弦定理，有.2sin2sincossincossin,sinsincoscosBABBAAABBA因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=2奎屯王新敞新疆由此可知△ABC是直角三角形奎屯王新敞新疆由c=10，.8,60,0,34222babacbaab可得以及如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则AD+DB+EC=.12)6810(21但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222xxxyxyxyxyxyxyxPCPBPAS因为P点在内切圆上，所以40x，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72奎屯王新敞新疆YB（0，6）DEO＇P（x,y)XOC（0，0）A（8，0）普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin22cos22yx从而222||||||PCPBPAScos880)sin22()cos22()4sin2()cos22()sin22()6cos2(222222因为20，所以S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72奎屯王新敞新疆八．（本题满分12分）设a＞2，给定数列{xn},其中x1=a,)2,1()1(221nxxxnnn求证：1．);2,1(1,21nxxxnnn且2．);2,1(212,31nxann那么如果3．.3,34lg3lg,31nxana必有时那么当如果1．证：先证明xn＞2(n=1,2,…）用数学归纳法奎屯王新敞新疆由条件a＞2及x1=a知不等式当n=1时成立奎屯王新敞新疆假设不等式当n=k(k≥1)时成立奎屯王新敞新疆当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221kkkkxxxx再由归纳假设知不等式0)2(2kx成立，所以不等式21kx也成立奎屯王新敞新疆从普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞而不等式xn＞2对于所有的正整数n成立奎屯王新敞新疆(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211kkkxxx所以不等式xn2(n=1,2,…）成立奎屯王新敞新疆）再证明).2,1(11nxxnn由条件及xn2(n=1,2,…）知,21)1(211nnnnnxxxxx因此不等式).2,1(11nxxnn也成立奎屯王新敞新疆（也可这样证：对所有正整数n有.1)1211(21)111(211nnnxxx还可这样证：对所有正整数n有,0)1(2)2(1nnnnnxxxxx所以).2,1(11nxxnn）2．证一：用数学归纳法奎屯王新敞新疆由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立奎屯王新敞新疆假设不等式当n=k(k≥1)时成立奎屯王新敞新疆当n=k+1时，由条件及2kx知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221kkkkkkkkkkkkxxxxxxx再由2kx及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kkx2121也成立，从而不等式1212nnx对所有的正整数n成立奎屯王新敞新疆普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞⌒证二：用数学归纳法奎屯王新敞新疆证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211kkkxxx再由2kx及归纳假设可得kkkx21211)212(21113．证：先证明若.43,31kkkxxx则这是因为.43)1311(21)111(211kkkxxx然后用反证法奎屯王新敞新疆若当34lg3lgan时，有,31kx则由第1小题知.3121nnxxxx因此，由上面证明的结论及x1=a可得,)43(31231211nnnnaxxxxxxxx即34lg3lgan，这与假设矛盾奎屯王新敞新疆所以本小题的结论成立奎屯王新敞新疆九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为AP32，直线PC与直线AO交于点M奎屯王新敞新疆又知当AP=43时，点P的速度为V奎屯王新敞新疆求这时点M的速度奎屯王新敞新疆普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞⌒解：作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COD=θ奎屯王新敞新疆由假设，AC的长为xAP3232，半径OC=1，可知θx32奎屯王新敞新疆考虑),0(x∵△APM∽△DCM，DCDMAPAM而.)43()843(2,,43])32sin()32cos321)(32cos