2011年高考数学压轴题(三)

-1-2011年高考数学压轴题（三）1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C：xaybab2222100()，的右准线l1与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.（I）求证：OMMF；（II）若||MF1且双曲线C的离心率e62，求双曲线C的方程；（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足APAQ，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：（I）右准线l12：xac，渐近线l2：ybaxMacabcFccab()()22220，，，，，OMacabc()2，MFcacabcbcabc()()22，，OMMFabcabcOMMF2222220……3分（II）ebaeab621222222，，||()MFbcabcbbacba1111142222222222，，，双曲线C的方程为：xy2221……7分（III）由题意可得01……8分证明：设l31：ykx，点PxyQxy()()1122，，，由xyykx22221得()1244022kxkxl3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q120161612041204120221012022212212222kkkxxkkxxkkkkk()122k……11分APAQxyxy，，，()()112211，得xx12-2-()()()1412412116412421222122222222222xkkxkkkkkk，12202111422kk，，()()1421022的取值范围是（0，1）……13分2．（本小题满分13分）已知函数fxxnxnfnnxnnN()()[()]()(*)00111，，数列{}an满足afnnNn()(*)（I）求数列{}an的通项公式；（II）设x轴、直线xa与函数yfx()的图象所围成的封闭图形的面积为Saa()()0，求SnSnnN()()(*)1；（III）在集合MNNkkZ{|2，，且10001500k}中，是否存在正整数N，使得不等式aSnSnn10051()()对一切nN恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.（IV）请构造一个与{}an有关的数列{}bn，使得lim()nnbbb12存在，并求出这个极限值.解：（I）nN*fnnnnfnnfn()[()]()()111fnfnn()()1……1分ffffff()()()()()()101212323……fnfnn()()1将这n个式子相加，得fnfnnn()()()012312ffnnn()()()0012annnNn()(*)12……3分（II）SnSn()()1为一直角梯形（n1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为fnfn()()1，，高为1SnSnfnfnaann()()()()11212112121222[()()]nnnnn……6分（III）设满足条件的正整数N存在，则nnnnn()12100522100520102又M{}200020022008201020122998，，，，，，，N201020122998，，……，均满足条件-3-它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则2010212998()m，解得m495M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin2010……9分（IV）设bann1，即bnnnnn212111()()则bbbnnnn122112121313141112111[()()()()]()显然，其极限存在，并且lim()lim[]nnnbbbn122112……10分注：bcann（c为非零常数），bbqqnannannn()(||)12012121，等都能使lim()nnbbb12存在.19.（本小题满分14分）设双曲线yax22231的两个焦点分别为FF12、，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近线ll12、的方程；（II）若A、B分别为ll12、上的点，且2512||||ABFF，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点N()10，能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OPOQ·0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：（I）eca2422，caac22312，，双曲线方程为yx2231，渐近线方程为yx334分（II）设AxyBxy()()1122，，，，AB的中点Mxy，2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()ABFFABFFcxxyyyxyxxxxyyyyyxxyyxxyyxx又，，，，321321007532512222()()yxxy，即则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III）假设存在满足条件的直线l设lykxlPxyQxy：，与双曲线交于，、，()()()11122OPOQxxyyxxkxxxxkxxxxi·00110101212122121221212()()()()-4-由得则，ykxyxkxkxkxxkkxxkkii()()()13131633063133312222212221222由（i）（ii）得k230∴k不存在，即不存在满足条件的直线l.14分3.（本小题满分13分）已知数列an的前n项和为SnNn()*，且Smmann()1对任意自然数都成立，其中m为常数，且m1.（I）求证数列an是等比数列；（II）设数列an的公比qfm()，数列bn满足：babfbnn11113，()()*nnN2，，试问当m为何值时，lim(lg)lim(nbanbbbbbbnn3122334…bbnn1)成立？解：（I）由已知Smmann1111()()Smmann()1（2）由()()12得：amamannn11，即()mamann11对任意nN*都成立mmaammannn为常数，且即为等比数列分1151（II）当n1时，amma111()abIqfmmmbfbbbnnNnnnn11111113112，从而由（）知，()()()*1111111131212911bbbbbbnnbnnNnnnnnnn，即为等差数列，分()()*ammnn11lim(lg)limlglglim()limnbannnmmmmnbbbbbbnnnnnnn121133131414151112112231·……由题意知lgmm11，mmm110109，13分-5-4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222babyax的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过FQA,,三点的圆恰好与直线l：033yx相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0cFxQ其中),0(,22bAbac．由P分AQ所成的比为8∶5，得)135,138(0bxP，2分∴axax231)135()138(022202．①，4分而AQFAbxAQbcFA),,(),,(0，∴0AQFA．cbxbcx2020,0．②，5分由①②知0232,32222aaccacb．∴21.02322eee．6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22ccbO，)0,(,2222222cOccccaccb，8分圆半径acacbr22222．10分由圆与直线l：033yx相切得，ac2|3|，又3,2,1,2bacca．∴椭圆方程为13422yx．12分5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件baan211的所有无穷等差数列na，试求1221nnnaaay的最大值，并求出y取最大值时na的首项和公差．（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件baan211的所有无穷等差数列na，试求1221nnnaaay的最大值，并求出y取最大值时na的首项和公差．（理）解：设na公差为d，则1111,aandndaann．3分dnanndadaaaaaynnnnnnn)21()1()()(11111221dnnann2)1()1(14分)2)(1()2)(1(1111aaanndannnn)3(2111aann．7分又211211,nnababaa．-6-∴449449)23(332112111bbabaaaannnn，当且仅当231na时，等号成立．11分∴8)49)(1()3(2111bnaanyn．13分当数列na首项491ba，公差nbd434时，8)49)(1(bny，∴y的最大值为8)49)(1(bn．14分（文）解：设na公差为d，则1111,aandndaann．3分)2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221ndandnnandnanndadaaaaaynnnnnnnnn)3(21)2)(1(11111aanaaannnn，6分又211211,nnababaa．∴449449)23(332112111bbabaaaannnn．当且仅当231na时，等号成立．11分∴8)49)(1()3(2111bnaanyn．13分当数列na首项491ba，公差nbd434时，8)49)(1(bny．∴y的最大值为8)49)(1(bn．14分6．（本小题满分12分）垂直于x轴的直线交双曲线2222yx于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）（Ⅰ）证明：;22020为定值yx（Ⅱ）过P作斜率为002yx的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111AAyxNyxM则