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第3课时数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．基础知识梳理上述证明方法叫做数学归纳法．用框图表示就是：基础知识梳理1．数学归纳法适用于证明________类型的命题()A．已知⇒结论B．结论⇒已知C．直接证明比较困难D．与正整数有关答案：D三基能力强化A．1B．2C．3D．0答案：C三基能力强化2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()三基能力强化3．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案：D三基能力强化C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案：2k三基能力强化4．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)”时，由n＝k(k1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.答案：π三基能力强化用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n＝k＋1时命题成立，要从n＝k＋1时待证的目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可．同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用“k＋1”替换恒等式中的所有“n”．课堂互动讲练考点一用数学归纳法证明恒等式课堂互动讲练例1用数学归纳法证明对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n－1)(n＋1)4.【思路点拨】证明等式是数学归纳法的应用之一，证明时，较为困难的是第二步，首先要弄清等式两边的构成规律，然后证明当n＝1时命题成立，再证如果n＝k时命题成立，那么n＝k＋1时命题也成立．课堂互动讲练课堂互动讲练【证明】(1)当n＝1时，左式＝12－1＝0，右式＝12(1－1)(1＋1)4＝0，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k2(k－1)(k＋1)4.那么[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)课堂互动讲练＝k2(k－1)(k＋1)4＋(2k＋1)k(k＋1)2＝14k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]∴当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*等式成立．课堂互动讲练＝14k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝(k＋1)2[(k＋1)－1][(k＋1)＋1]4，【误区警示】当n＝k＋1时易错写成(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]．整除问题是常见数学问题，除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外，有些还可用数学归纳法，应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法．也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k时的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．课堂互动讲练考点二用数学归纳法证明整除课堂互动讲练例2已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除．【思路点拨】用数学归纳法能证明整除问题，在由k过渡到k＋1时常用“配凑”的办法，要有目的地去“配凑”36的倍数式子和假设n＝k时的式子．课堂互动讲练【证明】(1)当n＝1时，f(1)＝36，能被36整除．(2)假设n＝k(k∈N*)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．课堂互动讲练【名师点评】用数学归纳法证明整除问题的关键是“配凑”．采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出归纳假设和倍数式子，从而由部分的整除性得出整体的整除性．课堂互动讲练在几何问题中，常有与n有关的几何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题．这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需课堂互动讲练考点三用数学归纳法证明几何问题用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．课堂互动讲练课堂互动讲练例3用数学归纳法证明平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．则这n个圆将平面分成n2－n＋2个部分．课堂互动讲练【思路点拨】本题中找到第k＋1个圆被原来的k个圆分成了2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两块，此时共增加了2k个部分，问题就得到了解决．【证明】(1)当n＝1时，即一个圆把平面分成2个部分，f(1)＝2，又n＝1时，n2－n＋2＝2，所以命题成立．(2)假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．那么当n＝k＋1时，记第k＋1个圆为⊙O.由题意，⊙O与其他k个圆相交于2k个点，这2k个点把⊙O分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2部分，因此这个平面被圆分成的部分就增加了2k个，即：课堂互动讲练f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，也即n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题均成立．【思维总结】用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，由k过渡到k＋1时常利用几何图形来分析前后的变化情况，并用严谨的文字给予说明．课堂互动讲练用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式，往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，再猜出从某个n值开始都成立的结论，最后用数学归纳法证明．课堂互动讲练考点四用数学归纳法证明不等式课堂互动讲练例4用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．课堂互动讲练【证明】(1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，课堂互动讲练1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．【思维总结】本题主要考查数列的递推关系；通项公式及前n项和公式，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．课堂互动讲练“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．课堂互动讲练考点五归纳、猜想、证明课堂互动讲练例5(解题示范)(本题满分12分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由．课堂互动讲练【思路点拨】(1)由a2、a5是方程的根，求an，再由Tn＝1－12bn，求bn.(2)先猜想1bn与Sn＋1的大小关系，再用数学归纳法证明．课堂互动讲练【解】(1)由已知得a2＋a5＝12a2a5＝27，又∵{an}的公差大于0，∴a5a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝a5－a23＝9－33＝2，a1＝1.2分∵Tn＝1－12bn，b1＝23，当n≥2时，Tn－1＝1－12bn－1，课堂互动讲练∴bn＝Tn－Tn－1＝1－12bn－(1－12bn－1)，4分化简，得bn＝13bn－1，∴{bn}是首项为23，公比为13的等比数列，即bn＝23·(13)n－1＝23n，∴an＝2n－1，bn＝23n.6分课堂互动讲练(2)∵Sn＝1＋(2n－1)2n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，1bn＝3n2.以下比较1bn与Sn＋1的大小：当n＝1时，1b1＝32，S2＝4，∴1b1S2，当n＝2时，1b2＝92，S3＝9，∴1b2S3，当n＝3时，1b3＝272，S4＝16，则1b3S4，课堂互动讲练当n＝4时，1b4＝812，S5＝25，得1b4S5.猜想：n≥4时，1bnSn＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝4时，已证．②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，1bkSk＋1，即3k2(k＋1)2.9分课堂互动讲练那么，n＝k＋1时，1bk＋1＝3k＋12＝3·3k23(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，1bnSn＋1也成立.11分由①②可知n∈N*，n≥4时，1bnSn＋1也成立．课堂互动讲练综上所述，当n＝1,2,3时，1bnSn＋1，当n≥4时，1bnSn＋1.12分【名师点评】由n＝1,2,3知，1bnSn＋1易错误地得出结论n∈N*时有1bnSn＋1.(本题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一个根是Sn－1，n＝1,2,3，…(1)求a1，a2；(2)求{an}的通项公式．解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，课堂互动讲练高考检阅课堂互动讲练解得a1＝12.1分当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是(a2－12)2－a2(a2－12)－a2＝0，解得a2＝16.2分(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0(*)课堂互动讲练由(1)知S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由(*)可得S3＝34.4分由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，6分下面用数学归纳法证明这个结论．①n＝1时已知结论成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，课堂互动讲练即Sk＝kk＋1，7分当n＝k＋1时，由(*)得Sk＋1＝12－Sk，即Sk＋1＝k＋1k＋2，故当n＝k＋1时结论也成立．课堂互动讲练综上，由①②可知Sn＝nn＋1对所有正整数n都成立.10分于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1n(n＋1).又n＝1时，a1＝12＝11