2014年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

-1-2014年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）-2-2014年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•合肥一模）已知复数z=3+4i，表示复数z的共轭复数，则||=（）A．B．5C．D．62．（5分）（2014•合肥一模）设集合S={0，a}，T={x∈Z|x2＜2}，则“a=1”是“S⊆T”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2014•合肥一模）过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上4．（5分）（2014•合肥一模）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）（2014•合肥一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）-3-A．18+2B．24+2C．24+4D．36+46．（5分）（2014•合肥一模）已知函数f（x）=|﹣sinx|﹣|+sinx|，则一定在函数y=f（x）图象上的点是（）A．（x，f（﹣x））B．（x，﹣f（x））C．（﹣x，﹣f（x﹣））D．（+x，﹣f（﹣x））7．（5分）（2014•合肥一模）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．5B．6C．7D．88．（5分）（2014•许昌三模）在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形9．（5分）（2014•合肥一模）已知实数x，y满足时，z=（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）-4-A．7B．8C．9D．1010．（5分）（2015•赤峰模拟）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2014•合肥一模）若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，则P（ξ＞1）=_________．12．（5分）（2014•合肥一模）已知数列{an}满足an+1=2an（n∈N+）且a2=1，则log2a2014=_________．13．（5分）（2014•合肥一模）若展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为_________．14．（5分）（2014•合肥一模）某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有_________种．15．（5分）（2014•合肥一模）已知直线：x+y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：①当θ=时，S中直线的斜率为；②S中所有直线均经过一个定点；③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；⑤S中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2014•合肥一模）已知cos（+α）•cos（﹣α）=﹣，α∈（，），求：（Ⅰ）sin2α；（Ⅱ）tanα﹣．-5-17．（12分）（2014•合肥一模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，，∠FAC是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是，试求∠FAC的余弦值．18．（12分）（2014•合肥一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+4，（x∈R）在x=2处取得极小值．（Ⅰ）若函数f（x）的极小值是﹣4，求f（x）；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值不小于﹣6，问：是否存在实数k，使得函数f（x）在[k，k+3]上单调递减．若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．-6-19．（13分）（2014•合肥一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且，如图．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若F（1，0），过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定的取值范围．-7-20．（13分）（2014•合肥一模）某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用P（i，j）表示编号为i，j（1≤i＜j≤15）的样品首轮同时被抽到的概率．（Ⅰ）求P（1，15）的值；（Ⅱ）求所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和．-8-21．（13分）（2014•合肥一模）已知函数fn（x）=x+，（x＞0，n≥1，n∈Z），以点（n，fn（n））为切点作函数y=fn（x）图象的切线ln，记函数y=fn（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）求证：an＜；（Ⅲ）设Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＜．-9-2014年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•合肥一模）已知复数z=3+4i，表示复数z的共轭复数，则||=（）A．B．5C．D．6考点：复数求模．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，写出复数的共轭复数，求出共轭复数的模长．解答：解：复数z=3+4i，=3﹣4i，===﹣4﹣3i，||=|﹣4﹣3i|==5．故选：B．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数求模长，实际上一个复数和它的共轭复数模长相等，本题是一个基础题．2．（5分）（2014•合肥一模）设集合S={0，a}，T={x∈Z|x2＜2}，则“a=1”是“S⊆T”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：求出集合T，根据集合元素关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：T={x∈Z|x2＜2}={﹣1，0，1}，当a=1时，S={0，1}，满足S⊆T．若S⊆T，则a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“S⊆T”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用集合元素和集合之间的关系是解决本题的关键．3．（5分）（2014•合肥一模）过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上-10-C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上考点：平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．解答：解：易知||=∵，||==1∴||=∴OP==1又圆的半为1∴点P一定在单位圆上故选：B点评：本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．4．（5分）（2014•合肥一模）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出AB的长，进而可得，从而可求双曲线的离心率．解答：解：不妨设A（c，y0），代入双曲线=1，可得y0=±．∵线段AB的长度恰等于焦距，∴，∴c2﹣a2=ac，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）（2014•合肥一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）-11-A．18+2B．24+2C．24+4D．36+4考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，利用勾股定理求出腰为=，代入棱柱的表面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，腰为=，∴几何体的表面积S=（2+4+2）×2+2××2=24+4．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．6．（5分）（2014•合肥一模）已知函数f（x）=|﹣sinx|﹣|+sinx|，则一定在函数y=f（x）图象上的点是（）A．（x，f（﹣x））B．（x，﹣f（x））C．（﹣x，﹣f（x﹣））D．（+x，﹣f（﹣x））考点：函数的图象．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：在函数y=f（x）图象上的点只需把点的坐标代入方程，满足表达式即可．解答：解：对于A，f（﹣x）=|﹣sin（﹣x）|﹣|+sin（﹣x）|=|+sinx|﹣|﹣sinx|≠f（x），∴A不正确；对于B，﹣f（x）=﹣|﹣sinx|+|+sinx|≠f（x），∴B不正确；对于C，﹣f（x﹣）=﹣|﹣sin（x﹣）|+|+sin（x﹣）|=﹣|+sin（﹣x）|+|﹣sin（﹣x）|=|﹣sin（﹣x）|﹣|+sin（﹣x）|=f（﹣x），∴C正确；对于D，﹣f（x﹣）=﹣|﹣sin（x﹣）|+|+sin（x﹣）|-12-=﹣|+sin（﹣x）|+|﹣sin（﹣x）|=|﹣sin（﹣x）|﹣|+sin（﹣x）|=f（﹣x）≠f（+x），∴D不正确；故选：C．点评：本题考查函数的定义，函数的图象的应用，考查计算能力．7．（5分）（2014•合肥一模）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．5B．6C．7D．8考点：程序框图．菁优网版权所有专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件n＞117时，确定输出i的值．解答：解：由程序框图知：程序第一次运行n=12﹣4=8，i=1+1=2；第二次运行n=4×8+1=33，i=2+1=3；第三次运行n=33﹣4=29，i=3+1=4；第四次运行n=4×29+1=117，i=4+1=5；第五次运行n=117﹣4=113，i=5+1=6；第六次运行n=113×4+1=452，i=6+1=7．此时满足条件n＞117，输出i=7．故选：C．点评：本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•许昌三模）在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C锐角非等边D钝角三角形-13-．三角形．考点：正弦定理．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：