数列高考常见题型分类汇总

1数列通项与求和一、数列的通项方法总结：对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则：①对于同时出现na,n,nS的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式；②利用1nnnSSa关系消掉nS（或者na），得到关于na和n的等式，然后用传统的求通项方法求出通项；③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；④对于出现2na或2nS（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法；遇到1nnaa时还会两边同除1nnaa.1.规律性形式求通项1-1.数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（）A．B．C．D．1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B•曼德尔布罗特（BenoitB．Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（）A．55B．89C．144D．2331-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，2，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（）A．B．C．D．2.出现na,n,nS的式子1-4.正项数列{an}的前项和{an}满足:222(1)()0nnsnnsnn(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令2221nnannb,数列{bn}的前n项和为nT.证明:对于任意的*nN,都有564nT.1-5.设数列na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN.(1)求2a的值;(2)求数列na的通项公式.31-6.已知首项都是1的两个数列na，),0(*Nnbbnn满足02111nnnnnnbbbaba.(1)令nnnbac，求数列nc的通项公式；(2)若13nnb，求数列na的前n项和nS.牛刀小试：1.已知数列{na}的前n项和为Sn，1a＝1，且122(1)(1)(*)nnnSnSnnnN，数列{nb}满足2120(*)nnnbbbnN，53b，其前9项和为63.（1）求数列数列{na}和{nb}的通项公式；2.已知数列na的前n项和为nS,且1111,.22nnnaaan(1)求na的通项公式;(2)设**2,,nnnbnSnNMnbnN，若集合恰有4个元素,求实数的取值范围.43.需构造的（证明题）1-7.已知数列na的前n项和为nS,且满足021nnnSSa2n,211a.(1)求证:nS1是等差数列;(2)求na表达式；1-8.设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3n（n∈N*）．（1）求证：{Sn﹣3n}是等比数列；（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围．牛刀小试1．已知数列{na}中，1a32，1na)(12Nnaann．（1）证明：数列11na是等比数列；（2）求数列nan的前n项和为nS．52.数列{na}中，1a1，1na)(122411Nnabannn，．（1）求证：数列{nb}是等差数列；二、数列求和与放缩数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数（分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。放缩，怎么去放缩是重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。2-1.数列na满足)(2212,2111Nnanaaannnnn.（1）设nnnab2，求数列nb的通项公式.（2）设111nnannc，数列nc的前n项和为nS，不等式nSmm41412对一切Nn成立，求m的范围.2-2.设数列na满足10a且1111.11nnaa（1）求na的通项公式；（2）设111,,1.nnnnknkabbSn记S证明：62-32-42-5牛刀小试：71.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.三、数列与不等式问题在这类题目中一般是要证明或者一个常数nfan，一般思路有两种：1.若{an}可求和nS，则可直接求出其和，再转化为nfSn，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；2.若{an}不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复1的过程。1.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。但如果出界了怎么办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项开始放缩。2.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的n看做自变量，na看做因变量Nnnfan)(，用函数部分求最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。3-1.设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且nS满足223nnSnnS230nn，nN.（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有112211111113nnaaaaaa.83-2．记公差不为0的等差数列}{na的前n项和为nS，93S，853aaa，，成等比数列．(1)求数列}{na的通项公式na及nS；(2)若)2(2nnnac，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列}{nc为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．牛刀小试：1.数列na的前n项和为nS，已知112a，2(1)nnSnann(n*N).(1)求23,aa；(2)求数列na的通项；(3)设+11nnnbSS,数列nb的前n项和为nT,证明:52nT(*nN).2.设数列na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN.(1)求2a的值;9(2)求数列na的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1211174naaa.3.数列作业1.设数列na的前n项和为nS，且442nnSn，（1）求数列na的通项；（2）设nnnab2，数列nb的前n项和为nT,求证：141nT.2.已知{}na是各项均为正数的等比数列，且12342,32.aaaa(I)求数列{}na的通项公式；(II)设数列nb满足)(112321*1321Nnanbbbbnn，求数列nb的前n项和。103.已知数列na的各项均为正数，其前n项和为nS，且满足111,21nnaaS，nN*.（1）求2a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）是否存在正整数k,使ka,21kS,4ka成等比数列?若存在,求k的值；若不存在,请说明理由.4.已知nS为数列na的前n项和，3(1)nnSnann（*nN），且211a．（1）求1a的值；（2）求数列na的前n项和nS；（3）设数列{}nb满足nnnbS，求证：122323nbbbn.5.设数列na的前n项和为nS，且1nnSa.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足：11nnab，又111nnnnbbac，且数列nc的前n项和为nT，求证：32nT.116.已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)已知anbn＝n＋12n＋3，求证：56≤1a1＋1a2＋…＋1an1.7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，b1＝1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.8.设等差数列na的前n项和为nS,且424SS,221nnaa.(1)求数列na的通项公式;(2)设数列nb前n项和为nT,且12nnnaT(为常数).令2nncb*()nN.求数列nc的前n项和nR.