提高高考数学复习效率的若干途径

提高高考数学复习效率的若干途径浙江省杭州高级中学周顺钿如何提高高三数学复习的效率，是高三数学复习研讨的一个重要话题。一、题组串联，提高概念复习的容量在进行高三数学复习教学时，前面二年的学习已使学生积累了大量的数学概念、定理、解题方法、数学思想等，这些知识象珍珠般散落在学生的脑海中，需要在高三复习时引导学生将这些知识“联珠成线”，“织线成网”。以函数的奇偶性为例，它涉及函数的定义域、对应法则、图象特征等，内涵丰富，概念性强，若能以题组的形式予以串联，可大大提高复习效率。1、奇偶函数的定义域必须关于原点中心对称（1）判断函数的奇偶性，须优先考虑定义域例1、判断下列函数的奇偶性①2,0,fxxx；②,1,1fxxx；③111xfxxx；④2122xfxx；⑤2211fxxx。（2）已知函数的奇偶性，求参变量的值例2、已知函数1,22,421bbxfxax为奇函数，求,ab的值。例3、设,abR，且2a，定义在区间,bb内的函数1lg12axfxx是奇函数。①求b的取值范围；②讨论函数fx的单调性。（2003年安徽春季高考）2、活用奇偶函数的对应法则（1）奇偶函数的分拆例4、函数2fxaxbxc为奇函数的充要条件是，为偶函数的充要条件是。一般地，定义域关于原点对称的函数fx一定可以表示为一个奇函数gx与一个偶函数hx之和，则gx；hx。应用：①定义在,上的任意函数都可以表示成一个奇函数gx和一个偶函数hx之和，如果lg101,,xfxx，那么（）A、,lg10102xxgxxhx；B、11lg101,lg10122xxgxxhxx；C、,lg10122xxxgxhx；D、,lg10122xxxgxhx；（全国高考）②已知23,1,2fxaxbxabxaa是偶函数，则a，b。③若函数sin3cosfxxx为奇函数，求的值。若为偶函数呢？④已知532fxaxbxcxx，且23f，求2f的值。（2）抽象函数的奇偶性例5、设()fx是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（）(A)()()fxfx是奇函数(B)()()fxfx是奇函数(C)()()fxfx是偶函数(D)()()fxfx是偶函数（2006年辽宁高考）例6、已知函数21yfx是定义在R上的奇函数，函数ygx的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则gxgx的值为（）A、2B、1C、0D、不能确定3、奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称例7、定义在R上的奇函数fx，当0x时，1fxx。①求fx的表达式；②解不等式0fx；③解不等式12fx；④求1fx的表达式；⑤解不等式10xfx。注：特别地，当0x时，0fx。例8、已知fx是定义在6,6上的奇函数，且在0,3上为一次函数，在3,6上为二次函数，并且当3,6x时，53,62fxff，求fx的解析式。4、奇偶函数的性质（1）奇偶函数的和差积商的奇偶性例9、设,fxgx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，0fxgxfxgx，且30g，则不等式0fxgx的解集是（）A、3,03,B、3,00,3C、,33,D、,30,3（2）奇偶函数的复合函数的奇偶性例10、定义在2,2上的偶函数fx在0,2上为减函数，试解不等式1fmfm。评注：若分类讨论去做，较繁！若用偶函数性质fxfx，则立得21mm，从而避开分类讨论。5、关于奇偶函数的综合问题例11、已知fx在1,1上有定义，112f，且满足,1,1xy有1xyfxfyfxy，对数列11221,21nnnxxxx。①证明：fx在1,1上为奇函数；②求nfx的表达式；③是否存在自然数m，使得对于任意nN，有1211184nmfxfxfx成立？若存在，求出m的最小值。（2005年湖北省八校联考）引申：你能求出通项nx的表达式吗？6、奇偶函数对称性的推广①若函数xf满足xfxf（偶函数），则xf的图像关于直线0x（y轴）对称；若函数xf满足xafxaf，则xf的图像关于直线ax对称；若函数xf满足xbfxaf，则xf的图像关于直线2bax对称。②若函数xf满足0xfxf（奇函数），则xf的图像关于原点0,0对称；若函数xf满足0xafxaf，则xf的图像关于点0,a对称；若函数xf满足bxafxaf2，则xf的图像关于点ba,对称；③若函数xf的图像有两条对称轴babxax,，则xf是周期函数，且baT2是它的一个周期；若函数xf的图像有两个对称中心baba0,,0,，则xf是周期函数，且baT2是它的一个周期；若函数xf的图像有一条对称轴ax，一个对称中心bab0,，则xf是周期函数，且baT4是它的一个周期；例12、例6、已知xf是定义在,上的增函数，xafxfxg①用函数单调性的定义证明函数xgy是,上的增函数；②当a=0时，试解不等式021gmg；③若a=2，（i）请指出函数xgy图像的对称中心点的坐标（无须证明）；（ii）试求满足21gmg的m的取值范围。在高考复习中，要重视对概念、法则、性质、公式、公理、定理等基础知识的全面梳理与回顾，弄清各知识的内部结构和内在联系。二、精选范例，通过引申、拓展、探究，提高复习的深广度“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。纵观近三年的高考，数学试题越来越“朴素”，既没有艰深的知识，也没有冷僻的技巧，许多题目取材于课本，由若干基础知识经组合、加工、改造而成，因此，在高三复习时要排除各种复习资料的干扰，抓住主干知识强化复习，精选范例，通过引申、拓展、探究，做到解一题通一片，跳出题海，提高效率。以下例题取材于人教社高中数学第一册（上）第三章《数列》。1、探究逆命题我们知道，等差数列的前n项和的公式有三种形式：21nnaanSdnnna211＝BnAn2。引导学生逆向探究探究1：若数列na的前n项和nSBnAn2，问数列na是不是等差数列？分析：当2n时，BnASSannn121，Aaann21（常数）；又BASa11，知Aaa212也适合。故数列na是等差数列。探究2：若数列na的前n项和21nnaanS，问数列na是不是等差数列？分析1：由2121111nnnnnaanaanSSa得01211aanannn，因而023121aanannn，相减得0221nnnaaa，变形并递推，有12211aaaaaannnn（常数），故na是等差数列。分析2：由01211aanannn得11112aanaannn，变形并递推，有1211112111aanaanaann，易知数列na是等差数列。评注：探究2是1994年全国高考文科试题，有较强的抽象度，较难找到问题的突破口，与2005年江苏省高考题有异曲同工之妙。2005年江苏省高考题：设数列na的前n项和为nS，已知11,6,1321aaa，且,3,2,1,)25()85(1nBAnSnSnnn，其中A.B为常数奎屯王新敞新疆⑴求A与B的值；⑵证明：数列na为等差数列；⑶证明：不等式15nmmnaaa对任何正整数nm,都成立奎屯王新敞新疆2、探寻最优解P117例4：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？教材突出基本量思想，采用第二个求和公式解答，复习时鼓励学生尝试一题多解。方法1设BnAnSn2，则12202040031010100BABA解得1,3BA。评注：公式3比公式2简洁，因此运算也更简便。受公式3启发，有方法2令BAnnSbnn，则数列nb仍为等差数列，结合公差的两点式nmbbdnm，有101020101020nbbbbn，在这里，除nb外，其余都是已知的，一步到位，直接得到了答案。进一步探寻更一般的规律，可以得到（1）若nS是等差数列前n项和，则点nSnn,在同一直线上。（2）若nqpSSS,,满足qnnp，则1///qSpSnSqpn。数学探究性问题在培养思维的灵活性和发散性方面有其独特的作用，可以使学生对数学的本质产生一种新的领悟，使学生的认知结构得到有效的发展。3、归纳、引申、拓展P125第11题：已知ba,是互异的正数，A是ba,的等差中项，G是ba,的等比中项，A与G有无确定的大小关系？P136第9题：（1）在a与b中间插入10个数，使这12个数成等差数列，求这个数列的第6项；（2）已知0ab，在a与b中间插入10个数，使这12个数成等比数列，求这个数列的第10项。如将上述两个问题并联，并进行推广，可以得到已知0ab，在a与b中间插入n个正数niai,,2,1，使这2n个数成等差数列；再在a与b中间插入n个正数ib),,2,1(ni，使这2n个数成等比数列。试比较这两个数列的对应项ia与ib的大小。分析：容易求得idaai，1nabd；iiaqb，11nabq。iniiaqnaaqiaba11＝iqnqiain1111，令kqkfk1，则1111kkqqkqkfkfkk12111kkqqqkqkkq01111kkkkqqqqqkkq从而知kf为自然数集上的增函数，由不等式的传递性有11fifnfnf，故iiba。事实上，在直角坐标平面内，点iaiE,落在aA,1与bnB,2的连线上，点ibiF,落在经过点BA,的指数型函数的图像上，因为指数型函数的图像是下凸的，故点E必在点F的上方，即iiba。这样的材料还有很多，如P115第10题、P125第10题要求学生拓展等差（比）中项的概念，进一步还可以引导学生拓展为：已知na是等差（比）数列，若klnm，则klnmaaaa（或klnmaaaa）。又如P114第3题：已知一个无穷等差数列的首项为1a，公差为d，（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，