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1探索规律题类型一数字规律1、下面是按一定规律排列的一列数：，那么第n个数是．解析∵分子分别为1、3、5、7，…，∴第n个数的分子是2n﹣1。∵4﹣3=1=12，7﹣3=4=22，12﹣3=9=32，19﹣3=16=42，…，∴第n个数的分母为n2+3。∴第n个数是。2、观察下列等式：，，，，，，。试猜想，的个位数字是_____。解析本题主要考查规律探索。观察等式：，，，，，可得，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，个位数字的变化是以、、、为周期，即周期为，又因为，所以的个位数字与的个位数字相同为。故本题正确答案为。考点规律探索。3、古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为,第二个三角形数记为,第n个三角形数记为,则．答案2解:,═,,═,═,…,,则,因此，本题正确答案是:.解析根据三角形数得到,,,,,即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和,即、,然后计算可得.4、按一定规律排列的一列数：，，，，，，，，请你仔细观察，按照此规律对应的数字应为_____。答案解析本题主要考查规律探索。将中间两个化为分数之后为：，，，，，，，，观察可知分子是从开始不断递增的奇数，分母是从开始不断递增的质数，那么根据这个规律即可得到。故本题正确答案为。3考点规律探索。5、如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律,依此规律,那么第4个图形中的,一般地,用含有m,n的代数式表示y,即.答案解:观察,发现规律:,,,,因此，本题正确答案是:63;解析观察给定图形,发现右下的数字=右上数字(左下数字,依此规律即可得出结论.6、观察下列数据：，，，，，，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是_____。答案解析本题主要考查规律探索。由数据，，，，，，可观察到，第奇数个数据为负数，第偶数个数据为正数，所以数据中带有这个因式，将化成，则这组数据变成，，，，，，由此可观察出，每一个分数的分子都是分4母的平方再加，所以这组数据中第个分数为，将代入可得出分数。故本题正确答案为。7、“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示示（）A.CnH2n+2B.CnH2nC.CnH2n-2D.CnHn+3答案此题答案为：A.解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，观察发现：a1＝4＝2×1+2，a2＝6＝2×2+2，a3＝8＝2×3+2，…，∴an＝2n+2.∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2.故选A.解析【考点提示】本题主要考查探究规律，解题的关键是找出碳原子与氢原子数量之间的关系．【解题方法提示】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值；根据数值的变化找出变化规律“an＝2n+2”，依次规律即可解决问题．8、从“特殊到一般”是数学上常用的一种思维方法.例如,“你会比较与的大小吗?”我们可以采用如下的方法:(1)通过计算比较下列各式中两数的大小:(填“”、“”或“=”)①②5,③,④(2)由(1)可以猜测与(n为正整数)的大小关系:当n时,;当n时,;(3)根据上面的猜想,可以知道:(填“”、“”或“=”).答案＜＜＞＞≤2≥3＞解:(1)①,,故;②,,故;③,,故;④,,故.因此，本题正确答案是:①;②;③;④.(2)结合(1)的结论,可以得出猜测结果:当时,;当时,.因此，本题正确答案是:;.(3),.因此，本题正确答案是:.解析先找出各组数的值,再进行比较,即可得出结论;(2)结合(1)结论,即可得出猜测的结论;(3)由,结合(2)猜测的结论,得出结果.类型二数式规律61、（11·曲靖）将一列整式按某种规律排成x，－2x2，4x3，－8x4，16x5…则排在第六个位置的整式为________．答案－32解析符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n-1．指数的规律：第n个对应的指数是n．解：根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：-25x6=-32x6．故答案为：-32x6．此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．2、已知，，，，（为正整数，且，），则_____。（用含有的代数式表示）答案解析本题主要考查分式的基本性质和规律探索。，，，所以规律以为周期循环，因为可以整除，所以。故本题正确答案为。考点分式的基本性质，规律探索。73、观察下面计算过程:;;你发现了什么规律?用含n的式子表示这个规律,并用你发现的规律直接写出的值.答案解:,,,,当时,上式.解析所求式子利用平方差公式化简,计算即可得到结果.4、观察下来等式：第一层1+2=3第二层4+5+6=7+8第三层9+10+11+12=13+14+15第四层16+17+18+19+20=21+22+23+24…8在上述数字宝塔中，从上往下数，数字2016在第___层。答案由题可知：每一层的第一个数：第n层的第一个数为n2，∵442=1936,452=2025，∴数字2016在第44层，故答案为：44.解析观察发现：第n层的第一个数为n2，所以要看2016介于哪两个数的平方之间，计算442=1936，452=2025，由此得：数字2016在第44层．5、观察下列算式:(1),(2),(3),(4),…请你在察规律解决下列问题(1)填空:×.(2)写出第n个式子(用含n的式子表示),并证明.答案20132017解:(1)由以上四个等式可以看出:每一个等式第一个因数等于序号数,第二个因数比第一个大4,等式右边的底数比第一个数大2;所以有:.答案为:2013,2017;9(2)第n个等式为:;左边右边成立.解析(1)每一个等式第二个因数比第一个大4,然后都加4,等式右边的底数比第一个数大2;反之可由最后一数反推得到.(2)设第一个数是n,那么第二个因数即为,等式右边的底数则为,表示出等式即可.6、有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；对任何正整数，第个数与第个数的和等于。（1）经过探究，我们发现：；；。设这列数的第五个数为，那么，，，哪个正确？请你直接写出正确的结论。（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数（即用正整数表示第个数），并且证明你的猜想满足“第个数与第个数的和等于”。（3）设表示，，，，这个数的和，即，求证：。答案（1）。10（2）由题意可知，第个数为，第个数为。第个数与第个数的和为。（3）因为，，，，，，将上述个不等式式子依次相加可得，，即，得证。解析本题主要考查规律探索和分式的运算。（1）由已知规律可得，。（2）先根据已知规律写出第个数和第个数，再根据分式的运算求和化简即可求解。（3）将这列数依次根据展开，然后再全部相加即可得证结论。考点分式的运算，规律探索。类型三图形规律一、图形累加规律1、如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第个图案中有_____个涂有阴影的小正方形（用含有的代数式表示）。答案解析本题主要考查规律探索。11由题意可知，第，，个图案中分别有，，个涂有阴影的小正方形。其中，，。由此可以推出，第个图案共有个涂有阴影的小正方形。故本题正确答案为。考点规律探索。2、图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第①个图案有4个黑棋子,第②个图案有9个黑棋子,第③个图案有14个黑棋子,.依次规律,第n个图案有个黑棋子.(用含n的代数式表示)答案解:观察图①有个黑棋子;图②有个黑棋子;图③有个黑棋子;图④有个黑棋子;…图n有个黑棋子,因此，本题正确答案是.解析仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系,找到规律,利用规律求解即可.123、下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案1需根火柴棒，图案2需根火柴棒，，按此规律，图案7需_____根火柴棒。答案解析本题主要考查规律探索。图案1中需要的火柴数为，图案2中需要的火柴数为，图案3中需要的火柴数为，，图案n中需要的火柴数为，所以图案7中需要的火柴数为。故本题正确答案为。考点规律探索。5、小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，，那么第个图案的棋子数是_____枚。答案解析本题主要考查规律探索。由题意可知，在第奇数个图案的时候增加枚棋子，在第偶数个图案的时候增加枚棋子，以此规律进行排列，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子。故本题正确答案为。136、(2016徐州)17.如图，每个图案都是由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图形中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为______________。第1个第2个第3个答案第一个图形，正方形个数：2,第二个图形，正方形个数：2+4第三个图形，正方形个数：2+4+6第n个图形，正方形个数：2+4+6+8+....+2n=n(n+1)故答案为n(n+1)。7、如图,在数轴上,,P两点表示的数分别是1,2,,关于点O对称,,关于点P对称,,关于点O对称,,关于点P对称依次规律,则点表示的数是．答案解:根据对称的性质得:表示的数为-1,表示的数为5,表示的数为-5,表示的数为9,表示的数为-9,表示的数为13,表示的数为,表示的数为17,表示的数为,表示的数为21,表示的数为,表示的数为25,则表示的数为.因此，本题正确答案是:.148、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第个图形有_____个小圆。（用含的代数式表示）答案0.6M02:13解析本题主要考查整式探索与表达规律。据观察，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆。故本题正确答案为。考点探索图形中的规律。9、观察如图所示的钢管的截面图，则第个图的钢管数是_____。（用含的式子表示）答案150.7M02:26解析本题主要考查规律探索。设第个图的钢管数为，则由题可知，当时，。当时，，当时，，，所以。故本题正确答案为。10、下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有个小圆圈，第②个图形中一共有个小圆圈，第③个图形中一共有个小圆圈，，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为（）。A:B:C:D:答案D解析本题主要考查规律探索。观察图可知，第①个图中小圆圈有个，第②个图中小圆圈的个数为，第③个图中小圆圈的个数为，以此类推，第⑦个图中小圆圈的个数为。故本题正确答案为D。考点规律探索。1611、图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②,再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③.(1)图②有个三角形;图③有个三角形.(2)按上面的方法继续下去,第n个图形中有多少个三角形?(用n的代数式表示结论)(3)有没有一个图形中存在2016个三角形?如果存在,请求出是第几个三角形;如果不存在,请说明理由.答案59解:根据图形的变化可以知道每个图形比前一个图形多4个三角形.(1)由发现的规律可以知道图②有个三角形;图③有个三角形.因此，本题正确答案是:5;9.(2).故按上面的方法继续下去,第n个图形中有个三角形.(3)令,计算得出,商出现了余数,即得数不是整数,没有一个图形中存在2016个三角形.17解析(1)根据图形的变化可发现每个图形比前一个图形多4个三角形,结合图①有一个三角形即可得出结论;(2)根据图形的变化可发现每个图形比前一个图形多4个三角形,而图形①只有一个三角形,用含n的代数式表示出结论即可;(3)结合(2)的结论,