1996考研数学真题+答案

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996年数学试题参考解答及评分标准1996年•第1页1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)设2lim()8xxxaxa，则aln2.(2)设一平面经过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，则此平面方程为2x+2y–3z=0．(3)微分方程''2'2xyyye的通解为)1sincos(21xcxceyx(4)函数)ln(2２　　＋ｚyxu)在A(1，0，1)处沿点A指向点B(3，-2，2)方向的方向导数为12.(5)设A是43矩阵，且A的秩r(A)=2,而B=301020201，则r(AB)=2.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)已知2)()(yxydydxayx为某函数的全微分，则a等于(D)(A)–1.(B)0.(C)1.(D)2.(2)设xf有二阶连续导数,且(0)0f,0()lim1xfxx,则(B)(A))0(f是xf的极大值(B))0(f是xf的极小值(C)(0,(0))f是曲线yfx的拐点(D))0(f不是xf的极值,(0,(0))f也不是曲线y=xf的拐点.(3)设0na(1,2,)n，且1nna收敛,常数(0,)2,则级数21(1)(tan)nnnnan(A)(A)绝对收敛(B)条件收敛（C）发散(D)敛散性与有关.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996年数学试题参考解答及评分标准1996年•第2页(4)设xf有连续的导数，(0)0f，)0('f0，Fx=,)()(202dttftxx且当0x时，)('xF与kx同阶无穷小，则k等于(C)(A)1.（B）2.(C)3.(D)4.(5)四阶行列式4433221100000000ababbaba的值等于(D)(A)4321aaaa-4321bbbb(B)4321aaaa+4321bbbb(C)（2121bbaa）（4343bbaa）(D)（3232bbaa）（4141bbaa）三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1)求心形线)cos1(ar的全长,其中0a.解：()sinra，……2分22()dsrrd22(1cos)(sin)2|cos|2adad……3分利用对称性，所求心形线的全长0022cos8sin822sadaa.……5分(2)设101x,nnxx61(n=1,2,…)，试证数列nx极限存在，并求此极限.证：由110x及216164xx，知12xx.假设对某正整数k有1kkxx，则有11266kkkkxxxx，故由归纳法知，对一切正整数n，都有1nnxx.即{}nx为单调减少数列.……3分又由16nnxx，显见0(1,2,)nxn，即{}nx有下界.根据极限存在准则，知limnnx存在.……4分令limnnxa，对16nnxx两边取极限，得6aa.从而260aa.因此32aa或.因为0(1,2,)nxn,所以0a.舍去2a，故极限值3a.……5分四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1)计算曲面积分Szdxdydydzzx）（2,其中S为有向曲面22yxz，(10z)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.解一：以1S表示法向量指向z轴负向的有向平面221(1)zxy，D为1S在XOY平面上的投影区域，则1(2)()SDxzdxdyzdxdydxdy.……2分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996年数学试题参考解答及评分标准1996年•第3页记表示由S和1S所围的空间区域，则由高斯公式知1(2)(21)SSxzdxdyzdxdydv2124211130000336()6242rrrdrdrdzrrdr.……5分因此13(2)()22Sxzdxdyzdxdy.……6分解二：以,yzxyDD表示S在,YOZXOY平面平面上的投影区域，则(2)Sxzdxdyzdxdy2222(2)()(2)()yzyzxyDDDzyzdydzzyzdydzxydxdy2224()yzxyDDzydydzxydxdy……2分其中231112222104(1)3yzyDzydydzdyzydzydy4204431sincos334224yttdt；2122200()2xyDxydxdydrrdr，……5分所以1(2)4.222Sxzdxdyzdxdy.……6分(2)设变换ayxvyxu2可把方程0622222yzyxzxx简化为02vuz，求常数a.解：,2zzzzzzaxuvyuv.……1分22222222zzzzxuuvv,2222222(-2)zzzzaaxyuuvv,2222222244zzzzaayuuvv.……4分将上述结果代入原方程，经整理后得2222(105)(6)0zzaaauvv.依题意知a应满足260,1050aaa且，解之得3a.……6分五、(本题满分7分)求级数222)1(1nnn的和.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996年数学试题参考解答及评分标准1996年•第4页解：设22()(||1)1nnxSxxn，……1分则2111()()211nnSxxnn，其中122111111nnnnnnxxxxxnnn.23111(0)1nnnnxxxnxn.……3分设11()nngxxn，则11111()(||1)1nnnngxxxxnx.于是00()()(0)()ln(1)(||1)1xxdtgxgxggtdtxxt.从而21()[ln(1)][ln(1)]222xxSxxxxx221ln(1)(||10)42xxxxxx且.……5分因此221153ln2(1)2284nnsn.……7分六、(本题满分7分)设对任意0x,曲线)(xfy上点))(,(xfx处的切线在y轴上的截距等于xdttfx0)(1,求)(xf的一般表达式.解：曲线()yfx上点(,())xfx处的切线方程为()()()YfxfxXx.……1分令0X，得截距()()Yfxxfx.……3分由题意，知01()()()xftdtfxxfxx.即0()[()()]xftdtxfxxfx.上式对x求导，化简得()()0xfxfx，……5分即('())0dxfxdx，积分得1'()xfxC.因此12()lnfxCxC（其中12,CC为任意常数）.……7分七、(本题满分8分)设)(xf在1,0上具有二阶导数，且满足条件axf)(，bxf)(''，其中ba,都是非负常数，c是0,1内的任意一点.证明22)('bacf.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996年数学试题参考解答及评分标准1996年•第5页证：2()()()()()(),(*)2!fxcfxfcfcxc其中(),01cxc.……2分在(＊)式中令0x，则有211()(0)(0)()()(0),01;2!fcffcfccc在(＊)式中令1x，则有222()(1)(1)()()(1),01;2!fcffcfccc上述两式相减得22211(1)(0)()()(1)()2!fffcfcfc.……5分于是22211|()|(1)(0)()(1)()2!fcfffcfc222111(1)|(0)||()|(1)|()|2!2!fffcfc22[(1)]2baacc.……7分又因22(0,1),(1)1ccc，故|()|22bfca.……8分八、(本题满分6分)设TAI,其中I是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置.证明：(1)AA2的充要条件是1T；(2)当1T时,A是不可逆矩阵.证：(1)2()()2TTTTTAIII(2)(2)TTTTII.AA2即(2)TTTII，亦即()TTIO，因为是非零列向量，0T，故AA2的充要条件是10T，即1T.……3分(2)用反证法：当1T时AA2.若A可逆，则有121AAAA，从而AI.这与TAII矛盾，故A是不可逆矩阵.……6分九、(本题满分8分)已知二次型32312132132166255),,(xxxxxxcxxxxxxf的秩为2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程123(,)4fxxx表示何种二次曲面.解：(1)此二次型对应矩阵为A51315333c，……1分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996年数学试题参考解答及评分标准1996年•第6页因()2rA，故513||153033Ac，解得3c.容易验证此时A的秩的确是2.……3分这时，||(4)(9)IA，故所求特征值为0,4,9.……6分(2)由上述特征值可知，123(,,)1fxxx表示椭圆柱面.……8分十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是37.(2)设,是两个相互独立且均服从正态分布21(0,())2N的随机变量，则随机变量||的数学期望(||)E＝2.十一、(本题满分6分)设,是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知的分布律为1(),1,2,33Pii.又设max{,},min{,}XY.(1)写出二维随机变量(,)XY发分布律；(2)求随机变量X的数学期望.解：(1)YX12311/90022/91/9032/92/91/9……4分(2)13522()1239999EX……6分注：写对分布律中的1个数得1分，2～4个得2分，5～7个得3分，8～9个得4分.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996年数学试题参考解答及评分标准1996年•第7页数学（试卷二）一、填空题【同数学一第一题】二、选择题【同数学一第二题】三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1)计算积分dxdyyxD22，其中D=xyxxyyx2,0,22.解：原式2cos400drrdr3408cos3d……3分42340088110(1sin)sinsinsin23339d.……5分(2)【同数学一第三、（1）题】