线代代数课件 王继忠编

2020/9/181线性代数张青洁[e-mail]2020/9/182第一章线性方程组与行列式第二章矩阵与线性方程组第三章向量组的线性相关性第四章相似矩阵与二次型第五章*线性空间与线性变换本学期的内容:2020/9/183第一章线性方程组与行列式行列式的概念行列式的性质与计算克莱姆法则解线性方程组2020/9/184§1二元、三元方程组与二阶与三阶行列式一．二元线性方程组与二阶行列式22221211212111bxaxabxaxa消去未知数2x得212221121122211baabxaaaa消去未知数1x得211211221122211abbaxaaaa当021122211aaaa时，得方程组（1）的惟一解：;211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax221111baba==22211211aaaa22211211aaaa2212aa21bbDD1DD2主对角线副对角线2020/9/185二行二列的数表：22211211aaaa（2）21122211aaaa称表达式为数表（2）所确定的二阶行列式，记作22211211aaaa即2,1;2,1jiaij元素：2112221122211211aaaaaaaai行标：j列标：对角线法则特点：（1）两行两列；（2）含两项(2!)的代数式；（3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；（4）一正一负。2020/9/186例1：求解二元线性方程组1212232121xxxx解：1223D,0743112121D,14121232D,21∴DDx11,2DDx22.3系数行列式2020/9/187111122133121122223322112223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb二．三元线性方程组与三阶行列式用消元法，当1122332332122133233113213222310aaaaaaaaaaaaaaa时,方程组的解可以表示为12233233212233233132322231112233233212213323311321322231baaaaabaababaabxaaaaaaaaaaaaaaa11233233121332331132132312112233233212213323311321322231abaabbaaaaaabbaxaaaaaaaaaaaaaaa11223232122132311213222313112233233212213323311321322231aabbaaabbabaaaaxaaaaaaaaaaaaaaa2020/9/188定义：三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa主对角线副对角线对角线法则322113312312332211aaaaaaaaa特点：（1）三行三列；（2）含六项(3!)的代数式；（3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；（4）三正三负。112233233212213323311321322231aaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa记2020/9/189111122133121122223322112223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb333231232221131211aaaaaaaaa333232322213121aabaabaab1x2x3x333231232221131211aaaaaaaaa333312322113111abaabaaba333231232221131211aaaaaaaaa332312222111211baabaabaa1;DD2;DD3.DD1112132122233132330aaaaaaaaa由消元法可得：方程组有惟一解2020/9/1810计算三阶行列式解：D124221342122例2：3124)2()4(411)2()2(2)3(2)4(D4)6(32482414练习：000xyxzyzabcbcacab0,3333.abcabc2020/9/1811求解方程094321112xx解：29432111xx23xx418x922x12652xx0∴23.xx或对角线法只适合于二阶或三阶行列式。【注】例3：2020/9/1812§2排列及其逆序数解：61233P由1,2,…,n组成的一个有序数组,称为一个排列12321nnnPn!n逆序:按自然序排列，如标准次序:排列：2,3为一个逆序用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例：123；132；213；231；312；321。123----标准序132；排列数---6个排列一、排列以及逆序数在n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.例如：2020/9/1813逆序数为奇数的排列叫做奇排列。（偶）（偶）计算排列的逆序数的方法：不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序。设nppp21为这n个自然数的一个排列，考虑元素nipi,,2,1，若比ip大的前面的元素有且排在ipi个，就说ip这个元素的逆序数是,i全体元素的逆序数之和就是这个排列的逆序数。逆序数:一个排列中所有逆序的总数1223nnppp2020/9/1814例4：求排列6342751和1342756的逆序数。解：3的逆序数2的逆序数1320113121121的逆序数2的逆序数奇排列偶排列,13620311)6342751(.4110200)1342756(2020/9/1815练习：求下列各排列的逆序数（1）n(n-1)(n-2)……321t=0+1+2+……+(n-2)+(n-1)2)1(nn（2）13…(2n-1)24…(2n-2)2nt=(n-1)+(n-2)+…+12)1(nn（3）13…(2n-3)(2n-1)2n(2n-2)(2n-4)…2t=2+4+6+…+2(n-1))1(nn2020/9/1816定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。证先证明相邻对换的情形设排列为laa1abmbb1,baa的逆序数增加1,,bab的逆序数减少1,balaa1mbb1与的奇偶性不同.balaa1mbb1laa1abmbb1相邻对换mlbbaa,,;,,11逆序数不变。显然ba,的逆序数改变：而b的不变a的不变63427511342756对换相邻对换二、对换634275163247512020/9/1817定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论：标准排列的对换次数为偶数。奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成5423115243(3,5)（奇）（偶）45213(1,4)（奇）次12m所以这两个排列的奇偶性相反。总之，次1m设排列为laa1mbb1abncc1laa1abmbb1ncc1laa1mbb1abncc1laa1mbb1abncc1laa1mbb1abncc1次m相邻对换再证一般情形2020/9/1818§3n阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa(1)每一项都是位于不同行、不同列三个元素的乘积；(2)当行标按标准序，则各项的正负号为321321pppaaa带正号的三项的列标排列是：123、231、312带负号的三项的列标排列是：132、213、321偶排列奇排列1231231231ppppppaaa分析：共3!项可记为3211pppt312213332112322311aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa∴2020/9/1819定义：n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaadetija1212121nnpppppnpaaa(1)含有n!项的代数和；(2)每一项nnpppaaa2121都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积；(3)各项的符号为121npppdeterminant2020/9/1820(1)当n=1时，一阶行列式。aa注意1例:1(2)n阶行列式也可以定义为12121npppnDaaanppp21τ为行标排列的逆序数。2020/9/1821例1：计算dcba000000000000000000000000dcbaabcd(4321)(1)abcdabcd1234123412341ppppppppaaaa,11p,22p.44p,33p,41p,32p.14p,23p2020/9/182200000000abcdDefgh例2：计算Dacfhadehbdegbcfg解D是一个4!=24项的代数和.,acfh,adehbdeg,bcfg在这24项中,除了其余的项都至少含有一个0因子,因而为0.这四项之外,上面四项的行标都是按标准序排列,列标依次为:1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二和第四个是奇排列.所以2020/9/1823111212221122nnnnnnaaaaaDaaaa0上三角行列式展开式中项的一般形式是1212121.nnpppppnpaaa,npn,11npn,1,2,3123ppnpn所以不为零的项只有.2211nnaaa11121222000nnnnaaaaaa1211221nnnaaa1122.nnaaa证例3由于ij时，有，则0ija2020/9/182412,11,2121112,11,11,2222111,112111000000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa同理：次上三角行列式12,11,21211nnnnnnaaaa2020/9/1825作为上三角和次上三角行列式的特例对角行列式1212;nn1122121.nnnn次对角行列式2020/9/1826例4计算nnDn00000000100200010001232100010002001!100000000nnnnDnnn解1221!nnn2020/9/1827已知,1211123111211xxxxxf.的系数求3x例5解1211123111211xxxxxf对应于1234112234431aaaa112233441aaaa3112233441,aaaax123431122344312aaaax.13的系数为故x含的项有两项,即3x含的项有两项,即3x含的项有两项,即3x2020/9/182